【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第8章《单元质量测评》(含解析).doc，共(13)页，335.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第八章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，不是正四面体

(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则

截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.23B.76C.45D.56答案D解析棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积为8×13×12×12×12×12＝16，所以剩下的几何体的体积为1－16＝56.3.已知水平放置的△A

BC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是()A.3B．22C.32D.34答案A解析由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×32＝3，由图易得

AO⊥BC，∴S△ABC＝12×2×3＝3，故选A.4．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．

l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l

2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．5．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(

)A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3答案A解析如图，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝π6，BB′⊥面α，∠BAB′＝π4.设AB＝a，则BA′＝32a，BB′＝22a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴AB∶A′B′＝2∶1.6．用m，n表示两条不同

的直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n答案D解析若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m

，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.故选D.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是()A．A1C1⊥ADB．D1C1⊥ABC．A

C1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角答案D解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45°；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，其正切值为BC1AB＝2≠1，所以异面直线AC1与DC所

成的角不是45°；连接A1D，DC1，因为A1D∥B1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角．而△A1DC1是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.所以答案选D.8．如图，正三角形ABC的

中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线BC∥平面A′DE；②恒有直线DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正确命题

的个数为()A．0B．1C．2D．3答案D解析由BC∥DE知，恒有直线BC∥平面A′DE，①正确；由DE⊥A′G，DE⊥FG知，恒有直线DE⊥平面A′FG，②正确；由直线DE⊥平面A′FG，DE⊂平面A′DE知，恒有平面A′FG⊥平面A′DE，③

正确．9．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A.452

B.4532C．45D．453答案A解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊12AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝12AC·12SB＝

452.10．PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是()A.12B.22C.33D.63答案C解析构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交

AB于D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角．设PC＝a，则PD＝3a2，故PO＝23PD＝33a，故cos∠CPO＝POPC＝33.故选C.11．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，若球O

的表面积为4π，则SA＝()A.22B．1C.2D.32答案B解析根据已知把S－ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1,2R＝SA2＋1＋2＝2，解得SA＝1，故选B.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形

ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱

挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二

、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④

MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．答案①③解析把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正确，②错误；EF与MN是异面直线，故③正确；易知MN⊥CD，故④错误．故填①③.14．

如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．答案2解析易知∠BDC′即为二面角B－AD－C′的平面角，则∠BDC

′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝23，在等边三角形BDC′中，易知DM＝3，所以tan∠AMD＝ADDM＝2.15．已知矩形ABCD中，AB＝

3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．答案a>6解析如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE

.要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，满足条件的E点有两个，则需以AD为直径的圆与BC相割．∴圆心到BC边的距离d<R，即3<a2，得a>6.16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放

置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm.答案29解析设上、下圆柱的半径分别是rcm，Rcm，高分别是hcm，Hcm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又r＝

1，R＝3，故H＋h＝29.即这个简单几何体的总高度为29cm.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落

在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A、点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋

BC2＝5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm.18.(本小题满分12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解由题意知，所成几何体的表面积＝圆台下底面面积＋圆台的

侧面积＋半球面的面积．又S半球面＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π×(2＋5)×5－22＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，所以所得几何体的表面积为S半球面＋S圆台侧＋S圆台下底＝8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又

V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3)，所以所得几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．19．(本小题满分12分)如图，已

知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．求证：(1)MF∥平面ABCD；(2)MF⊥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接AC交BD于点O，连接MO，∴OM綊12DD1.又DD1綊A1A，

∴OM綊12A1A.又AF＝12A1A，∴OM綊AF，∴四边形MOAF是平行四边形，∴MF∥CA.又CA⊂平面ABCD，MF⊄平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥B1B，而BD∩B1B＝B，∴AC⊥

平面BDD1B1.又MF∥AC，∴MF⊥平面BDD1B1.20．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面

AB1F1⊥平面ACC1A1.证明(1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1綊AC，BB1綊CC1.∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴C1F1綊AF綊12AC，FF1綊CC1綊

BB1，∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.∵B1F1⊄平面C1BF，BF⊂平面C1BF，∴B1F1∥平面C1BF.同理AF1∥平面C1BF，又B1F1∩AF1＝F1，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，又B1F1⊂平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.2

1．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为362，求a的值．解(1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥

A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC綊12AD綊ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝B

E，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.22．(

本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积

；若不存在，请说明理由．解(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G

，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作

HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴CHHF＝CEDF＝12，∴CGGP＝CHHF＝12，∴GH＝13PF＝33，∴VD－CEG＝VG－CDE＝13S△

CDE·GH＝13×12DC·CE·sinπ3·GH＝112.