【文档说明】2021年高中数学新教材必修第一册：5.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》精品学案（含答案）.doc，共(10)页，500.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（人教A版）1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图

象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题.1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判

断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.一、预习导入阅读课本201-205页，填写。1.定义域正

弦函数、余弦函数的定义域都是_______________.2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_______________.(2)最值正弦函数①当且仅当_______________时,取得最大值②当且仅当_______________时,取得最小值余弦函数①当且仅当_______

________时,取得最大值②当且仅当_______________时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个_______________,使得当取定义域内的每一个值时,都有_______________,那么函数就叫做周期函数,非

零常数_______________叫做这个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个_______________,那么这个_______________就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数

、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为_______________,其图象_______________对称()为_______________,其图象__________

_____对称5.对称性正弦函数的对称中心是_______________,对称轴是直线_______________;余弦函数的对称中心是_______________,对称轴是直线_______________.(正(

余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间__________

_____上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间_______________上都是减函数,其值从减小到.1．判断正误(1)存在x∈R满足sinx＝2.()(2)函数y＝cos2x在

π2，π上是减函数．()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅在x＝0时取得最大值1.()2．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数3．函数y＝s

inx和y＝cosx都是减函数的区间是()A.2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)B.2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)C.2kπ＋π，2kπ＋3π2(k∈Z)D.2kπ＋3π2，2

kπ＋2π(k∈Z)4．已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数题型一正

、余弦函数的周期性例1求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(126x),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.跟踪训练一1.（1）函数y=2sin(3x+π6),x∈R的最小正周期是()(A

)π3(B)2π3(C)3π2(D)π(2)函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为.题型二化简、求值例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2sin2x;(2)f(x)=sin(34x+3π2);(3)f(x)=sin|x|;(4)f(x)=1cosx+cos1x.跟踪训练二1.下列

函数中,最小正周期为π的奇函数是()(A)y=sin(2x+π2)(B)y=cos(2x+π2)(C)y=sin(2x+π4)(D)y=2sin(x+π4)2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈

0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B．1C．－32D．32题型三正、余弦函数的单调性例3求函数y=sin(12x+π3)的单调区间.跟踪训练三1．求函数y＝2sinπ4－x的

单调增区间．题型四正弦函数、余弦函数单调性的应用例4比较下列各组中函数值的大小：（1）cos－23π5与cos－17π4；(2)sin194°与cos160°.跟踪训练四1．下列结论正确的是()A．sin4

00°>sin50°B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200°D．cos(－40°)<cos310°题型五正、余弦函数的值域与最值问题例5求下列函数的值域:(1)y=cos(x+π

6),x∈[0,π2];(2)y=cos2x-4cosx+5.跟踪训练五1.函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为.2.设f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+π3)的最大值为.1．

若函数1sin2yx（0）是R上的偶函数，则的值是（）A.0B.4C.2D.2．若函数sin6fxx（0）的最小正周期为5,则（）A.5

B.10C.15D.203．已知cos3fxx，关于fx的下列结论中错误的是（）A.fx的一个周期为2B.fx在,2ππ单调递减C.fx的一个零点为6xD.fx的图象关于直线83x对称4．求下

列函数的单调递增区间．（1）1cos2xy；（2）12logsin24yx．5．比较下列各组数的大小．（1）cos8与13cos7；（2）317cos,sin,cos2104；（3）3co

ssin8与3coscos8．答案小试牛刀1．(1)×(2)×(3)×2．B.3．A.4.C.自主探究例1【答案】(1)2π；(2)π；(3)4π；(4)π.【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cosx的最小正周期为2π.

(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.(3)因为1sin(4)sin2sin262626xxx

,所以由周期函数的定义知,2sin26xy的最小正周期为4π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正周期为π.跟踪训练一1.【答案】(1)B；(2)π2．【解析】(2)作出y=|sin2

x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为π2.例2【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)偶函数;(4)既是奇函数又是偶函数.【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=2

sin(-2x)=-2sin2x=-f(x),所以f(x)=2sin2x是奇函数.(2)因为x∈R,f(x)=sin(34x+3π2)=-cos34x,所以f(-x)=-cos(-34x)=-cos34x=f(x),所以函数f(x)=sin(34x+3π2)是偶函数.(

3)显然x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函数f(x)=sin|x|是偶函数.(4)由1cos0,cos10,xx得cosx=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.跟踪训练二1.【答案】B【

解析】A中,y=sin(2x+π2),即y=cos2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+π2)=-sin2x,是奇函数,T=2π2=π,故选B.2.【答案】D【解析】因为f(x)的

最小正周期为T＝π，所以f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.例3【答案】略.【解析】当-π2+2kπ≤12x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)时函

数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-5π3+4k,π3+4k](k∈Z).当π2+2kπ≤12x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[π3+4k,7π3+4k](k∈Z).跟

踪训练三1．【答案】略.【解析】y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增区间，即求y＝sinz的减区间，所以π2＋2kπ≤z≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ≤x－π4≤3

π2＋2kπ(k∈Z)，解得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sinπ4－x的单调增区间是3π4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．例4【答案】（1）cos－23π5＜cos－17π4；

（2）sin194°＞cos160°.【解析】（1）cos－23π5＝cos－6π＋7π5＝cos7π5，cos－17π4＝cos－6π＋7π4＝cos7π4，∵π＜7π5＜7π

4＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增，∴cos7π5＜cos7π4，即cos－23π5＜cos－17π4.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝c

os(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sinx在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.跟踪训练四1．【答案】C.【解析】由cos130°

＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cosx是减函数，所以cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，即cos130°>cos200°.例5【答案

】（1）[-12,32]；（2）[2,10].【解析】(1)由x∈[0,π2]可得x+π6∈[π6,2π3],函数y=cosx在区间[π6,2π3]上单调递减,所以函数的值域为[-12,32].(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,则-

1≤t≤1.y=t2-4t+5=(,当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].跟踪训练五1.【答案】[-9,1].【解析】(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx

-2=-2(sinx-54)2+98.故当sinx=1时,ymax=1;当sinx=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].2.【答案】1.【解析】由题意a≠0,当a>0时

,1,3,abab所以2,1,ab此时g(x)=-sin(2x+π3),其最大值为1.当a<0时,3,1,abab所以2,1.ab此时g(x)=-sin

(-2x+π3),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.当堂检测1-3．CBB4．【答案】（1）4,42kk（kZ）；（2）3,88kk（kZ）.【解析】（1）由题意可

知函数cos2xy的单调递减区间为函数1cos2xy的单调递增区间，由222xkk（kZ），得442kxk（kZ），所以函数1cos2xy的单调递增区间为4,4

2kk（kZ）．（2）由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知sin2043222242xkxkkZ，解得22224kxk（kZ

），即388kxk（kZ），故所求单调递增区间为3,88kk（kZ）.5．【答案】（1）13coscos87；（2）713cossincos4102

；（3）33coscoscossin88．【解析】（1）因为13coscos,coscos2coscos887777，0872

，且函数cosyx在0,2上单调递减，所以coscos87，所以13coscos87．（2）1177sincos,coscos1021044，因为71

3042102，函数cosyx在0,上单调递减，所以713coscoscos42102，即713cossincos4102．（3）3coscossin8288．因为30882

，函数sinyx在0,2上单调递增，所以30sinsin1882，即330cossin882，又函数cosyx在0,2上单调递减，所以33coscoscossin88．