【文档说明】2021年高中数学新教材必修第一册：5.2.2《同角三角函数的基本关系》精品学案（含答案）.doc，共(9)页，107.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】5.2.2同角三角函数的基本关系（人教A版）1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理：“sinα±cosα”同“s

inαcosα”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．一、预习导入阅读课本182-183页，填写。1

．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________.商数关系：sinαcosα＝________α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的________等于1，________等于角α的正切

．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos21

5°＝1，sin2π19＋cos2π19＝1等．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)若sinα＝12，则cosα＝32.()2．化简1－sin2π

5的结果是()A．cosπ5B．－cosπ5C．sinπ5D．－sinπ53．若sinα＝45，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－43B．34C．±34D．±434．已知tanα＝2，则cosα－5sinα3cosα＋

sinα＝________.题型一应用同角三角函数关系求值例1(1)若3sin5，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．跟踪训练一1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα

的值．题型二三角函数式的化简、求值例2(1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)若角α是第二象限角，化简：tanα1sin2α－1.跟踪训练二1．化简：(1)

cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)sinθ－cosθtanθ－1.题型三三角函数式的证明例3求证：cos1sin.1sincosxxxx.跟踪训练三1．求证：1＋2sinxcosxco

s2x－sin2x＝1＋tanx1－tanx.题型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系例4已知sinα＋cosα＝15，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα

的值．跟踪训练四1.已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝．2.已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值：(1)3sinα－cosα2sinα＋3cosα；(2)sin2α－2sinα

cosα＋1.1．下列各式中成立的是()A．sin2α＋cos2β＝1B．tanα＝sinαcosα(α任意)C．cos2α2＝1－sin2α2D．sinα＝1－cos2α2．已知α∈π2，5π2，cosα＝45，则tanα＝()

A．±34B．34C．－34D．433．已知tanα＝－12，则2sinαcosαsin2α－cos2α的值是．4．已知sinα＋cosα＝12，则sinαcosα＝________.5．已知tanα＝43，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．6．(1)化简sin2α－

sin4α，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋tan2α＝1cos2α.答案小试牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－95.自主探究例1【答案】(1)当α是第三象限角时，cosα＝－45，tanα＝34.α是第四象限角时，cos

α＝45，tanα＝-34(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝1517，tanα＝－158.如果α是第三象限角，sinα＝－1517，tanα＝158.【解析】(1)∵sinα＝－35，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角

时，cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝34.α是第四象限角时，cosα＝1－sin2α＝45，tanα＝sinαcosα＝-34(2)∵cosα＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝1－c

os2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.跟踪训练一1．【答案】角α的终边在第

二象限时，cosα＝－1010，sinα＝31010；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2

α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±1010.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－1010，si

nα＝31010；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.例2【答案】（1）1；（2）-1.【解析】(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°s

in130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝tanα1－sin2αsin2α＝tan

αcos2αsin2α＝sinαcosα×|cosα||sinα|，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝sinαcosα×|cosα||sinα|＝sinαcosα×－cosαs

inα＝－1.跟踪训练二1．【答案】(1)1；(2)cosθ.【解析】(1)原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36

°－sin36°cos36°－sin36°＝1.(2)原式＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝cosθsinθ－cosθsinθ－cosθ＝cosθ.例3【答案】见解析【解析】22cos0,sin1,1sin0cos(1

sin)=(1sin)(1sin)cos(1sin)1sincos(1sin)cos1sincosxxxxxxxxxxxxxxx证明：由知所以，于是左边右边所以，原式成

立.跟踪训练三1．【答案】见解析【解析】证明：右边＝1＋sinxcosx1－sinxcosx＝cosx＋sinxcosx－sinx＝cosx＋sinx2cosx－sinxcosx＋sinx＝1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝左边，∴原等式成立．例4【答案】(1)－1

225；(2)75.【解析】证明：(1)∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝125，∴1＋2sinαcosα＝125，即sinαcosα＝－1225.(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.又∵0

＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75.跟踪训练四1、【答案】－125.【解析】法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝713，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝4916

9，即2sinαcosα＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1713.②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125.法二：(弦化切)同法

一求出sinαcosα＝－60169，sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，tanαtan2α＋1＝－60169，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝－125.由s

inα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125.2.【答案】（1）89；(2)1310.【解析】由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tan

α＝3.（1）法一(换元)原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二(弦化切)原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝sin2α－2sinαcosαsin2

α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanαtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.当堂检测1-2．CA3．434．－385．【答案】sinα＝43，cosα＝－45.【解析】由tanα

＝sinαcosα＝43得sinα＝43cosα.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1.∴cos2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cosα＝－35.∴sinα＝43，cos

α＝－45.6．【答案】见解析【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sinαcosα＜0，所以sin2α－sin4α＝sin2α（1－sin2α）＝sin2αcos2α＝－sinαcosα.(2)证明：1＋tan2α

＝1＋sin2αcos2α＝cos2α＋sin2αcos2α＝1cos2α.