【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第7章《7.3.1课时精讲》(含解析).doc，共(6)页，234.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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7.3.1复数的三角表示式知识点一复数的三角形式(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．(2)非

零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在的射线(射线OZ)为□01终边的角θ叫复数z＝a＋bi的□02辐角．因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)．知识点二辐角的主值(1)定义及表示：在0

≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的．特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值

加2kπ或k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－1＝cosπ＋isinπ.()(2)2i＝2cosπ2＋is

inπ2.()(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)将复数z1＝－1＋3i表示成三角形式为________．(2)已知|z|＝23，argz＝5π3，求复数z＝________.(3)若a<0，则a的三角

形式是________．答案(1)2cos2π3＋isin2π3(2)3－3i(3)－a(cosπ＋isinπ)题型一复数的代数形式化为三角形式例1把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)3＋i；(2)1－i.[解](1)r＝3＋1＝2，∵

3＋i对应的点在第一象限，∴tanθ＝13＝33，即θ＝π6，∴3＋i＝2cosπ6＋isinπ6.(2)r＝1＋1＝2.∵1－i对应的点在第四象限，且tanθ＝－11＝－1，∴θ＝7π4，∴1－i＝2cos7π4＋isin7π4

.复数代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)．(4)求出复数三角形式．把下列复数表示成三角形式．(1)－2＋2i；(2)2

sin3π4＋icos3π4.解(1)原式＝22－22＋22i＝22cos3π4＋isin3π4.(2)原式＝222－22i＝2cos7π4＋isin7π4.题型二判

断复数三角形式的条件例2判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)12cosπ4－isinπ4；(2)－12cosπ3＋isinπ3；(3)2－cosπ5＋isinπ5；(4)s

inπ5＋icosπ5.[解]根据复数的三角形式的结构，z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断．(1)不是.12cosπ4－isinπ4＝12cos7π4＋isin7π4.(2)不是．－12cosπ3

＋isinπ3＝12－12－32i＝12cos4π3＋isin4π3.(3)不是.2－cosπ5＋isinπ5＝2cos4π5＋isin4π5.(4)不是．sinπ

5＋icosπ5＝cos3π10＋isin3π10.判断复数的三角形式的条件(1)r≥0；(2)加号连接；(3)cos在前，sin在后；(4)θ前后一致，可任意值．即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．求复数z＝3sinπ3－icosπ3的辐角主值．解∵z＝332

－12i＝3cos11π6＋isin11π6，∴辐角主值argz＝11π6.题型三复数三角形式化为代数形式例3把下列复数表示成代数形式．(1)4cosπ3＋isinπ3；(2)6cos11π6＋isin11π6.[解]根据a＋bi＝r(cosθ＋i

sinθ)，可得a＝rcosθ，b＝rsinθ，故可解．(1)4cosπ3＋isinπ3＝4×12＋4×32i＝2＋23i.(2)6cos11π6＋isin11π6＝6×32＋6×

－12i＝33－3i.将复数的三角形式化为代数形式：由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ，可得a＝rcosθ，b＝rsinθ.将下列复数的三角形式化成代数形式．(1)z1＝2cosπ6＋isinπ6；(2)

z2＝6(cos60°＋isin60°)．解(1)z1＝232＋12i＝3＋i.(2)z2＝612＋32i＝3＋33i.1．－6的辐角主值为()A．0B.π2C．πD．－π2答案C解析－6＝6(－1＋0·i)

＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C.2．下列说法正确的是()A．已知复数z＝cos7π5＋isin7π5，则z的辐角主值为3π5B．复数z＝2i＋3的虚部为2iC．(3＋i)6＝－64

D．复数z＝2i的三角形式为z＝2cos3π2＋isin3π2答案C解析A项，z的辐角主值argz＝7π5，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(3＋i)6＝[(3＋i)2]3＝(2＋23i)3＝8＋3×2×(23i)2＋

3×22×(23i)＋(23i)3＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝2cosπ2＋isinπ2，错误．故C正确．3．复数12－32i的三角形式是________．答案cos5π3＋isin5π3解析12－32i＝cos5π3＋isin5π3，故复数12－32i

的三角形式是cos5π3＋isin5π3.4．设复数z，z＋2的辐角主值为π3，z－2的辐角主值为5π6，则z＝________.答案－1＋3i解析设z＋2＝r1cosπ3＋isinπ3＝r12＋3r12i，z－2＝r2

cos5π6＋isin5π6＝－3r22＋r22i.∴r12－2＋3r12i＝2－3r22＋r22i，易得r12－2＝2－3r22，①3r12＝r22，②∴r2＝3r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋3i－2＝－1＋3i.5．设复数z满足z－3

z－的辐角主值为5π4，z＋1的模为10，求复数z.解设z＝x＋yi(x，y∈R)．由|z＋1|＝10，得|(x＋1)＋yi|＝10，∴(x＋1)2＋y2＝10.①又z－3z－＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，所以arg(z－3z－)＝5π4⇔－2x<0，4y<

0，－2x＝4y，②解①②，可得x＝2，y＝－1.所以z＝2－i.