【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第6章《单元质量测评》(含解析).doc，共(10)页，154.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

)1．(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简后等于()A．BC→B．AB→C．AC→D．AM→答案C解析原式＝AB→＋BO→＋OM→＋MB→＋BC→＝AC→.2．设点A(－1,2)，B(2

,3)，C(3，－1)，且AD→＝2AB→－3BC→，则点D的坐标为()A．(2,16)B．(－2，－16)C．(4,16)D．(2,0)答案A解析设D(x，y)，由题意可知AD→＝(x＋1，y－2)，AB→＝(3,1)，BC→＝(1，－4)，所以2

AB→－3BC→＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以x＋1＝3，y－2＝14，所以x＝2，y＝16.3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3答案

C解析∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30

°答案B解析设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA

＝78，则△ABC的面积S为()A．152B．15C．8155D．63答案A解析由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·78.∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝12

bcsinA＝12×4×2×1－782＝152.6．向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC的形状为()A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形答案C解析∵

BA→＝(4，－3)，BC→＝(2，－4)，∴AC→＝BC→－BA→＝(－2，－1)，∴CA→·CB→＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且|CA→|＝5，|CB→|＝25，|CA→|≠|CB→|.∴△ABC是直角非等腰三角形．7．在△ABC中，若|AB→

|＝1，|AC→|＝3，|AB→＋AC→|＝|BC→|，则AB→·BC→|BC→|＝()A．－32B．－12C．12D．32答案B解析由向量的平行四边形法则，知当|AB→＋AC→|＝|BC→|时，∠A＝90°.又|A

B→|＝1，|AC→|＝3，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC→|＝2，所以AB→·BC→|BC→|＝|AB→||BC→|cos120°|BC→|＝－12.8.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝5，E是DC的中点，点P在线

段BC上运动(包含端点)，则EP→·BP→的最小值是()A．－95B．0C．－45D．1答案A解析由四边形ABCD是等腰梯形可知cosB＝55.设BP＝x(0≤x≤5)，则CP＝5－x.所以EP→·BP→＝(EC→＋CP→

)·BP→＝EC→·BP→＋CP→·BP→＝1·x·－55＋(5－x)·x·(－1)＝x2－655x.因为0≤x≤5，所以当x＝355时，EP→·BP→取得最小值－95.故选A．9．甲船在湖中B岛

的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A．7kmB．13kmC．19kmD．10－3

3km答案B解析如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM＝8×1560＝2，BN＝12×1560＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×

－12＝13，所以MN＝13(km)．10．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，则|a×b|＝()A．3B．2C．23D．4答案B解析cosθ＝a·b|a||b|＝

－3－32×2＝－32，∴sinθ＝12，∴|a×b|＝2×2×12＝2.11．设0≤θ<2π，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是()A．2B．3C．32D．23答案C

解析∵P1P2→＝OP2→－OP1→＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|P1P2→|＝2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2＝10－8cosθ≤32.12．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)

，其中常数a>0，点P在线段AB上，且AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为()A．aB．2aC．3aD．a2答案D解析AB→＝OB→－OA→＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴AP→＝tAB→＝(－at，at)．又OP

→＝OA→＋AP→＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴OA→·OP→＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．∴当t＝0时，OA→·OP→取得最大值，为a2.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题

中的横线上)13．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案(－4，－2)解析设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2.即a＝(－4，－2)．14

．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1，那么c＝________.答案2解析由题知，AB→·AC→＋BA→·BC→＝2，即AB→·AC→－AB→·BC→＝AB→·(AC→＋CB→)＝AB→2＝2⇒c

＝|AB→|＝2.15．如图，在正方形ABCD中，已知|AB→|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB→·AN→的最大值是________．答案4解析∵AB→·AN→＝|AB→||AN→|·cos∠BAN，|AN→|cos∠BAN表示AN→在AB→方向上的投影，又|AB→|＝2，

∴AB→·AN→的最大值是4.16．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.答案－2解析以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直

角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则CM→＝(x，y－3)，CB→＝(3，－3)，CA→＝(－3，－3)，又CM→＝16CB→＋23CA→，即(x

，y－3)＝－32，－52，可得M－32，12，所以MA→＝－32，－12，MB→＝332，－12，所以MA→·MB→＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．

(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC．(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为63，求b.解(1)由bsin

B＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)由(1)得B＝π3，所以△ABC的面积为12acsinB＝34ac＝63，得ac＝2

4.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝27.18．(本小题满分12分)如图，平行四边

形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝13BC．(1)以a，b为基底表示向量AM→与HF→；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM→·HF→.解(1)由已知，得AM→＝AD→＋DM→＝12a＋b.连接AF，∵AF→＝

AB→＋BF→＝a＋13b，∴HF→＝HA→＋AF→＝－12b＋a＋13b＝a－16b.(2)由已知，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6，从而AM→·HF→＝12a＋b·a－1

6b＝12|a|2＋1112a·b－16|b|2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.19．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且OP→＝xOA→＋yOB→.(1)若AP→＝PB→，求x，y的值；(2

)若AP→＝3PB→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°，求OP→·AB→的值．解(1)若AP→＝PB→，则OP→＝12OA→＋12OB→，故x＝y＝12.(2)若AP→＝3PB→，则OP→＝OA→＋34AB→＝OA→＋3

4(OB→－OA→)＝14OA→＋34OB→，OP→·AB→＝14OA→＋34OB→·(OB→－OA→)＝－14OA→2－12OA→·OB→＋34OB→2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.20．(本小题满分12分)已知向量m＝3sinx4，1

，n＝cosx4，cos2x4，函数f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求cos2π3－x的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋12c＝b，求f(B)的取值范围．解由题意，得f(x)＝3sinx4cosx4＋cos

2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.(1)由f(x)＝1，得sinx2＋π6＝12，则cos2π3－x＝2cos2π3－x2－1＝

2sin2x2＋π6－1＝－12.(2)已知acosC＋12c＝b，由余弦定理，得a·a2＋b2－c22ab＋12c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又因为A为三角形的内角，所以A＝π3，从而B＋C＝2π3，易知0<B<2π3，

0<B2<π3，则π6<B2＋π6<π2，所以1<sinB2＋π6＋12<32，故f(B)的取值范围为1，32.21．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(

－2，－3)，BC→∥DA→.(1)求x与y的关系式；(2)若AC→⊥BD→，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．解(1)如右图所示．因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，所以DA→＝－AD→＝(－x－4,2－

y)．又因为BC→∥DA→，BC→＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.(2)AC→＝AB→＋BC→＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)．因为AC→⊥BD→，

所以AC→·BD→＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.当y＝3时，x＝－6，于是BC→＝(－6,3)，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)．所

以|AC→|＝4，|BD→|＝8，所以S四边形ABCD＝12|AC→||BD→|＝16.当y＝－1时，x＝2，于是有BC→＝(2，－1)，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)．所以|AC→|＝8，|BD

→|＝4，S四边形ABCD＝16.综上可知x＝－6，y＝3或x＝2，y＝－1，S四边形ABCD＝16.22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．(1)求a与b的数量积用k表示

的解析式f(k)；(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；(3)求a与b夹角的最大值．解(1)由已知|a|＝|b|＝1.∵|ka＋b|＝3|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝3(|a

|2－2ka·b＋k2|b|2)，∴8ka·b＝2k2＋2，∴f(k)＝a·b＝k2＋14k(k>0)．(2)∵a·b＝f(k)>0，∴a与b不可能垂直．若a∥b，由a·b>0知a，b同向，于是有a·b

＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝1，即k2＋14k＝1，解得k＝2±3.∴当k＝2±3时，a∥b.(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝a·b＝k2＋14k(k>0)，∴cosθ＝14k＋1k＝14()k2＋

1k2＝14k－1k2＋2，∴当k＝1k即k＝1时，cosθ取到最小值为12.又0°≤θ≤180°，∴a与b夹角θ的最大值为60°.