【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第6章《6.4.3第1课时课时精讲》(含解析).doc，共(6)页，181.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理□01三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

知识点二余弦定理的推论cosA＝□01b2＋c2－a22bc，cosB＝□02a2＋c2－b22ac，cosC＝□03a2＋b2－c22ab.知识点三解三角形(1)把三角形的□01三个角A，B，C和它们的□02对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)

□03已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．知识点四余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知□01两边及其夹角解三角形，另一类是已知□02三边解三角形．1．对余弦定

理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现

三角形中边角关系的互化．2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．②化角为边，再进行代

数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b

2＋c2，可得角A的范围是π3，π2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2

＋c2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．()答案(1)×(2)

√(3)√2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为

________．(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．答案(1)5π6(2)钝角(3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a

ccosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边

和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝

120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D(2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，

c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cosA＝b2

＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b

，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C．所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32，所以C＝π6，故选B．(2)已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2

b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14

.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B(2)见解析[条件探究]若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝432

＋132－722×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．(2)若已知三角形三边的比例关系，

常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．答案(1)

120°(2)见解析解析(1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cosA＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC＝

92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2×AC2×ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7.所以，所求中线长为7.解法二：在△ABC中，设AC边的

中线长为x，如图由余弦定理可得在△ABC中，有AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC，①在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD，②①＋②可得2(AB2＋BC2)＝(2x)2＋AC2，即2×(92＋72)＝(2

x)2＋82，∴x＝7，∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．[解]由2cosAsinB＝sinC，得2cosAsinB＝sinAcosB

＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cosC＝12，C＝60°，∴△ABC为等

边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝6

0°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．14B．34C．24D．23答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2

＋4a2－2a22a·2a＝34.2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B．2C．2D．4答案C解析bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－

1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为________．答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在

△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝________.答案2解析由已知及余弦定理，得sinA＝b2＋c2－a22bc＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，

a＝2.5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝asinC，∴b＝a·ca，∴

b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．