【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第6章《6.3.5课时精讲》(含解析).doc，共(9)页，288.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．知识点二三个重要公式1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点

间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直

接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1

．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<

0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为___

_____．(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案(1)C(2)－6(3)2题型一平面向量数量积的坐标表示例1已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与

b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.[条件探究]若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2

)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.解(1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．(2)∵a·c＝2×(－2)＋(－1)×(－4)＝－4＋4＝0，∴(a·c

)b＝0.数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D

．2答案C解析a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.题型二向量的模的问题例2(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|

的最小值为________；(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．[解析](1)∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，∴a－b＝(2x－1,3－x

)－(1－x,2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝3x－22＋4－3x2＝18x2－36x＋20＝18x－12＋2，∴当x＝1时，|a－b|取最小值为2.(2)①∵a＝AB→＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝42＋－

32＝5.②与a平行的单位向量是±a|a|＝±15(4，－3)，即坐标为45，－35或－45，35.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝34.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得

m＝35，n＝45或m＝－35，n＝－45，∴e＝35，45或－35，－45.[答案](1)2(2)见解析求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下

的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10答案B解析由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，解得

x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝32＋－12＝10.故选B.题型三向量垂直的坐标表示例3设OA→＝(2，－1)，OB→＝(3,1)，OC→＝(m,3)．(1)当m＝2时，用OA→和OB→表示OC→；(2)若AB→⊥BC→，求实数m的值．[解](1)当m＝2时，设

OC→＝xOA→＋yOB→，则有2x＋3y＝2，－x＋y＝3，解得x＝－75，y＝85，即OC→＝－75OA→＋85OB→.(2)AB→＝OB→－OA→＝(1,2)，BC→＝OC→－OB→＝(m－3,2)．因为AB→⊥BC→，所以AB

→·BC→＝0，即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．已知在△ABC中，A(2，－1)，

B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．解设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)．∵D在直线BC上，即BD→与

BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，

－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得x＝1，y＝1.∴D(1,1)．∴|AD→|＝1－22＋1＋12＝5，即|AD→|＝5，点D的坐标为(1,1).题型四平面向量的夹角问题例4已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)

，B(0,0)，C(c,0)，(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．[解]AB→＝(－3，－4)，AC→＝(c－3，－4)．(1)若c＝5，则AC→＝(2，－4)．∴cosA＝cos〈A

C→，AB→〉＝AC→·AB→|AC→||AB→|＝55.∵∠A是△ABC的内角，故sinA＝1－cos2A＝255.(2)若∠A为钝角，则AC→·AB→<0且AC→，AB→不反向共线．由AC→·AB→<0，得－3(c－3)＋1

6<0，即c>253.显然此时AC→，AB→不共线，故当∠A为钝角时，c>253.求平面向量夹角的步骤若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；(2)求出|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22；(3)代入公式：c

osθ＝a·b|a||b|(θ是a与b的夹角)．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b

＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3

×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m，n的夹角为3π4.题型五向量数量积的综合应用例5已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点

C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．则AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.(2)∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为

矩形，∴AB→＝DC→.∵A(2,1)，B(3,2)，∴AB→＝(1,1)．设C点的坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)，从而有x＋1＝1，y－4＝1，解得x＝0，y＝5，∴点C的坐标为(0,5)．∴AC→＝(－2,4)，|AC→|＝－22＋

42＝25，故矩形ABCD的对角线的长度为25.利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可．(3)求

线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．已知a，b，m，n∈R，设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求证：am＝bn.证明设c＝(a，b)，d＝(m，n)，且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，则c·d

＝am＋bn，|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2.∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，∴|c|2|d|2＝(c·d)2.又c·d＝|c||d|cosθ，∴cos2θ＝am＋bna

2＋b2m2＋n22＝1，∴cos2θ＝1.又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c∥d，∴an－bm＝0.又mn≠0，∴am＝bn.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x

等于()A．3B.13C．－13D．－3答案C解析3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－13.故选C.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.

73，79D.－79，－73答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得22＋y＋3x＋1＝0，3x－y＝0，解得x＝－79，y＝－73，即c＝－7

9，－73.3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.答案5解析由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝5.4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ

＝________.答案31010解析2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．cosθ＝a·b|a||b|＝3，3·1，232＋3212＋22＝9310＝31010.5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－

x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×

(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－

4)，|a－b|＝4＋16＝25.综上，|a－b|＝2或25.