【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第6章《6.2.1课时精讲》(含解析).doc，共(13)页，499.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.1向量的加法运算知识点一向量的加法(1)向量加法的定义□01求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则知识点二向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|□01≤|a|＋|b|

.当a，b同向时有|a＋b|□02＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|□03＝||a|－|b||.知识点三向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．准确理解向量加法的三角形法则和平

行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC→＝AB→＋AD→(平行四边形法则)

，又因为BC→＝AD→，所以AC→＝AB→＋BC→(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a

＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|

.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能

与这两个向量共线．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于BC→的是()A.BA→＋AC→B.BD→＋DA→＋AC→C.AB→＋BD→＋DC→D.DC→＋BA→＋AD→(2

)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→|等于()A．1B．2C.3D.5(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a

，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，再作CD→＝c，则AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，即AD→＝a＋b＋c.解

法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA→，OB→为邻边作▱OADB，则对角线OD→＝a＋b，再作OC→＝c，以OC→，OD→为邻边作

▱OCED.则OE→＝a＋b＋c.题型一向量的三角形和平行四边形法则例1如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解]如下图中(1)，(2)所示，首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.(1

)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行

四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．(1)如图，已知a，b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解(1)如图①，②所示．首先作AB→＝a，然后作BC→＝b，则AC→＝a＋b.(2)作法一：

如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，

连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简

下列三式：(1)BC→＋CE→＋EA→；(2)OE→＋AB→＋EA→；(3)AB→＋FE→＋DC→.[解](1)BC→＋CE→＋EA→＝BE→＋EA→＝BA→.(2)OE→＋AB→＋EA→＝(OE→＋EA→)＋AB→＝OA→＋AB→＝OB→.(3)AB→＋F

E→＋DC→＝AB→＋BD→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→.解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简

或计算：(1)CD→＋BC→＋AB→；(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.解(1)CD→＋BC→＋AB→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA

→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DF→)＋FA→＝AC→＋CF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO→＝OC→，DO→＝OB→.求证：四边形

ABCD是平行四边形．[证明]AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→，又∵AO→＝OC→，OB→＝DO→，∴AB→＝DC→，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．怎样用向量方法证明几

何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明∵AE→＝AB→＋BE→，FC→

＝FD→＋DC→，又AB→＝DC→，FD→＝BE→，∴AE→＝FC→，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为103km/h，方向垂直于对

岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解]如图所示，OA→表示水速，OB→表示船实际航行的速度，OC→表示船速，由OB→＝OC→＋OA→，易知|BC→|＝|OA→|＝10，又∠OBC＝90°，所以|OC→|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠A

OC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶

800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解如图所示，设AB→，BC→分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次行驶的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有

|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶

的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.AB→＋BC→＋AC→＝0C.AB→＋BA→＝0D.CA→＋AC→＝MN→＋NP→＋PM→答案B解析对于A，根据0加任何向量都等

于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得AB→＋BC→＝AC→，故原式等于AC→＋AC→≠0.故B错误；对于C，可知AB→与BA→共线且方向相反，所以AB→＋BA→＝0，所以C正确

；对于D，可知MN→＋NP→＋PM→＝MP→＋PM→＝0，又CA→＋AC→＝0，可知D正确．故选B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝BP→＋BP→，则()A.PA→＋PB→＋PC→＝0B.PA→＋PB→＝0C.PC→＋PA→＝0D.PB→＋PC→＝0答案C解析因为P是△ABC

所在平面内一点，BC→＋BA→＝BP→＋BP→，所以P是AC的中点，所以PC→＋PA→＝0.3．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案82k

m北偏东45°解析如图所示，设AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|AC→|＝82，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝1，则|BC→＋CD→|＝________.答案1解析由题

意知△ABD为等边三角形，∴|BC→＋CD→|＝|BD→|＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，OA→＝a，OE→＝b，试用向量a，b将OB→，OC→，OD→表示出来．解设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行

四边形法则得OP→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵AB→＝OP→＝ED→，∴AB→＝ED→＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得OB→＝OA→＋AB→＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，OC→＝OB→＋BC→＝

a＋a＋b＋b，在△OED中，OD→＝OE→＋ED→＝OE→＋OP→＝b＋a＋b.