【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：《9.2.4总体离散程度的估计+9.3统计案例》教案.doc，共(8)页，133.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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9.2.4总体离散程度的估计教学设计课题9.2.4总体离散程度的估计单元第九单元学科数学年级高一教材分析本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用样本的离散

程度估计总体的离散程度；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度。4.直观想象：通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度；5.数学运算:能够正确计算样本的标准差或方差；6.数据分析:通过经历提出问题

—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点方差与标准差，并利用方差与标准差估计总体的离散趋势难点方差与标准差教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题导入：问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中

的环数如下：甲78795491074，乙9578768677，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数

、众数都是7。从这三个数据来看，两名运动员没有差别。根据以上数据作出频率分布直方图，如下：由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。可见，他们的射击成绩是存

在差异的。问题二：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？我们可以利用极差进行度量。学生利用问题情景，引出本节新课内容——方差与标准差。学生观察频率分布直方图，判断两名运动员的成绩的离散情况。设置问题情境，回顾上节课知识点

，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。培养学生学会数形结合的方法和能力。根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6乙的极差=9-5=4极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。由极差

发现甲的成绩波动范围比乙的大。但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，

那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。讲授新课知识探究（一）：方差与标准差思考一：如何定义“平均距离”？的“距离”到

作为即距离”，数的差的绝对值作为“我们用每个数据与平均。表示这组数据的平均数用假设一组数据是xxnixxxxxxiin,,2,1,,,,21niinxxnxxxx1211,,,的“平均距离”为到可以得到这组数据1121niixxn替，即值，通

常改用平方来代为了避免式中含有绝对niixxn12211写成以下形式，即便，我们还可以把方差有时为了计算方差的方。）式为这组数据的方差我们称（差。）式为这组数据的标准），我们称（（即它的算术平方

根我们对方差开平方，取为了使二者单位一致，原始数据不一致。数据的单位的平方，与由于方差的单位是原始22121niixxn为总体标准差。为总体方差，则称，总体平均数为变量值分别为如果总体中所有个体的212i221-1,,,,SSYYNSY

YYYNiN.-1,,2,1,,,,),(12i221kiiiikYYfNSkifYYYYNkkN则总体方差为出现的频数为其中不妨记为共有个变量值中，不同的值如果总体的形式。方差也可以写成加权的与总体均值类似，

总体为样本标准差。为样本方差，则称样本平均数为变量值分别为如果一个样本中个体的212i221-1,,,,,ssyynsyyyynin标准差：考察样本数据的分散程度的大小最常用的统计量，是样本数据到平均数的一种平均距离

，一般用s表示。标准差的表达式222121[()()()]nsxxxxxxn学生根据上述问题，探究“平均距离”。根据上述推断得出标准差和方差的定义以及计算公式。利用问题情境探究得出“平均距离”,培养学生探索的精神.给学生养

成先推倒后总结的学习习惯。.方差：标准差的平方方差的表达式2222121[()()()]nsxxxxxxn思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？0s标准差s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个

数据是相等的。思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度。标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差

是一样的；但在实际问题中，一般多采用标准差。在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。接下来我们再

来探究问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074，乙9578768677，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？我们可以根据标准差来判断两名

运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙≈1.095.即s甲>s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平

均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。例1、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为17

0.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？考虑标准差为0的特殊情况。学生分组合作，回到问题一，探究得出方差与标准差对总体数据离散程度的影响。数学知识是由特殊到一般

或由一般到特殊的推导过程，引导学生养成全面推倒知识的习惯。通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。.;,,,,;,,,,22272122321szsyyyysxxxxyx，方差记为记为把总样本数据的平均数，方差记为其平均数记为把女生样本记为

，方差记为其平均数记为解：把男生样本记为23127122231271222501501ijjiijjizyyyzxxxzyzxs本方差为根据方差的定义，总样，可得由0232312

31iiiixxxx022231231iiiixxzxzxxx02271zyyyjj同理可得12723501501222222712271223122312zyszxszyyyz

xxxsyxjjjiii因此，2.165506.160276.17023272327272323,6.160,6.170yxzyx为系，可得总样本平均数与各层样本

平均数的关机抽样总样本平均数根据按比例分配分层随由4862.512.1656.16062.38272.1656.17059.12235011222s），可得代入（本平均数和方差的取值把已知的男生、女生样.4862.514862.51生身高的总体方差为并据此估计

高一年级学，的方差为我们可以计算出总样本样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息。思考四：你能根据下图计算出样本平均数和样本标准差吗？20.6,79.8sx样本标准差均数根据上图计算出样本平，，，，

即再接下来，我们计算出19.21,61.3-22-99.14,59.2-19.212,61.32-,99.14,59.2-sxsxsxsxsxsxsxsx通过例题加强理解方差与标准差的意义。利用思考题，让学生对标准差和方差进一步进行探索。利用例题加深本节

课的内容。利用思考题让学生探究本节课的问题，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。内。，据落在也就是说，绝大部分数个。外的只有，内，在区间，个数据中大部分落在根据上图可以发现，这sxsxsxsxsxsx22-719.21,61.3-22-99.14,59.2-100

例2、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲：22，25，23，23，27，乙：25，24，22，25，24。从生产的零件内径尺寸看，谁生产的质量

较高？解：1=22+25+23+23+27=245x甲（）1=25+24+22+25+24=245x乙（）222221[(2)1(1)(1)+3]5s甲165222221[10(2)(1)+0]5s乙6=5=sxsx乙乙甲甲，即甲、乙生产的零件内径的平均数

相等，但乙的稳定程度高，所以，乙生产的零件的质量比甲的高一些。课堂巩固1、某校举行2014年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，87，84，86，93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为__85___、___1.6__。2、抛硬币20次，正面12

次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是__2.2__，得分的方差是__0.96_．3、甲、乙两人数学成绩(单位：分)分别为：甲：75788182878992939495102，乙：8184868893989899103105110（1）分别求出这两名同学的数学成绩的平

均数及标准差；（2）比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法。解：（1）1=+78+81+82878992939495102=8811x甲（75）通过例题加强理解方差与标准差的意义。学生和教师共同探究完成3个练习题。利用例题加深本节课的内容。通过这3个题，巩固

基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。1=81+84+86+88+93+98+98+99+103+105+110=9511x乙（）222222222221678(131076+1+1+456714)1

111s甲222222222221874(141197+2+3+3481015)1111s乙（2）乙甲乙甲，ssxx乙的数学平均分比的甲高好多，但稳定性稍差一点.;,,,3;,,,2;,,,1,,,3212121221baxb

axbaxbxbxbxaxaxaxsxxxxnnnn）（）（均数和方差：计算下列各组数据的平，方差是的平均数是、已知一组数据例xanxxxanxxxanaxaxaxnnn

2121211）平均数为解：（222222122222122222221222221------------sanxxxxxxanxxxxxxanxxaxxaxxa

nxaaxxaaxxaaxnnnn方差为bxbnxxxnnbxxxnbxbxbxnnn2

121212）平均数为解：（22222122221----b-b-bsnxxxxxxnbxxbxxbxxnn方差为

bxabnxxxannbxxxanbaxbaxbaxnnn2121213）平均数为解：（2222222212

22221----b-b-bsanxxaxxaxxanbxaaxbxaaxbxaaxnn方差为知识总结平均数、方差性质22212212221221,,,,3,,,,2,,,,1,,,sabxabaxbaxbaxsbxb

xbxbxsaxaaxaxaxsxxxxnnnn方差为平均数为的）新数据（方差为平均数为的）新数据（方差为平均数为的）新数据（，方差是的平均数是数据课堂巩固探索平均数、方差的性质。总结、巩固平均数、方差的性

质。培养学生探索知识的能力。培养学生总结知识的能力。？的平均数和方差是多少则样本，方差是的平均数是若样本12,,12,1237,,,2121nnxxxxxx2221221,,,,,,,sabxaba

xbaxbaxsxxxxnn方差为平均数为的则新数据，方差是的平均数是解：若数据12321517212,,12,12221方差是平均数是的则样本nxxx知识探究（二）：统计分析

报告思考五：近年来，我国肥胖人数的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式为BMI=体重（单位：kg）/身高2（单位：m2）。

中国成人的BMI数值标准为BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。某公司想要了解公司员工的身体肥胖情况，你认为有哪些工作需要完成？1、从公司员工体检数据中，对男、女员工分别采用分层抽样抽

取样本，并计算得到BMI值；2、将上述样本数据用频率分布直方图进行统计；3、根据统计图和统计量判断样本的分布以及差异，并对男、女员工在肥胖状况上的差异进行比较；4、根据上述样本数据来估计该公司员工胖瘦程度的整体情况；5、根据总体的估计对该公

司员工提出控制体重的建议。即统计案例分析报告包括以下几个过程：思考六：统计分析报告主要由哪几部分组成？1、标题；2、前言简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况；3、主体展示数据分

析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖通过抽样、统计等过程，让学生思

考统计分析报告主要有哪几个方面。理论联系实际，无论是抽样还是统计，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况。4、结尾对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，

提出控制公司员工体重的建议。课堂小结1.方差与标准差2.统计分析报告的主要组成部分学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书教学反思