【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：6.2.4《向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积》导学案 (含答案).doc，共(7)页，191.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；2.会求平面向量的数量积、投影向量；3.熟记平面向量数量积的性质；4.能运用数量积的性质解决问题；1..教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；

2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。1．向量的夹角的定义：已知两个非零向量ba和，O是平面上的任意一点，作,,bOBaOA则AOB)0(叫做向量ba和的。显然，当0时，ba和；当时，ba和。2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角

为θ，我们把数量叫做a与b的(或)，记作，即．规定零向量与任一向量的数量积为．3.投影向量的定义：如图(1)设ba,是两个零向量,bCDaAB,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作

CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到11BA，我们称上述变换为向量a在向量b投影(project).,11BA叫做向量a在向量b上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作bONaOM,，过点M作直线ON的垂线

,垂足为M1，则1OM就是向量a在向量b上的。4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔．(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．(3)a·a＝或|a|＝a·a＝.(4)|a·b|≤.一、探索新知思考

1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量ba和，O是平面上的任意一点，作,,bOBaOA则AOB)0(叫做向量ba和的。显然，当0时，ba和；

当时，ba和。如果ba和的夹角是2，我们就说ba和垂直，记作ba。思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？2.数量积的定义：已知两个非零向量ba和，它们的夹角为，我们把数量cos||||ba叫做向量b

a和的数量积（或内积），记作ba，即cos||||baba。规定：零向量与任一向量的数量积为。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）ba中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成

“”；（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？结论：数量积符号由cos的符号所决定。例1.已知,4||,5||baba和的夹角32，求ba。4.投影向量的定义：如

图(1)设ba,是两个零向量,bCDaAB,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到11BA，我们称上述变换为向量a在向量b投影(project).,11BA叫做向量a在向量b上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,

作bONaOM,，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则1OM就是向量a在向量b上的。探究1：如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么1OM与,,ae之间有怎样的关系？探究2：两个非零向量相互平

行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？牛刀小试：1.已知在,,bACaABABC中，当00baba或时，试判断ABC的形状。1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则BC→·C

A→＝()A．20B．－20C．203D．－2032．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是()A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1D．|e1·e2|<13．在△

ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定4.已知ea,6||为单位向量，且ea,的夹角为45，求向量a在e上的投影向量。这节课你的收获是什么？参考答案：思考1.cos||||SFW思考

2.标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。思考3.功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。思考4.当0°≤θ＜90°时，ba为正；当90°＜θ≤180°时，ba为负；当θ=90°时，ba为零。例1.例2.探究1.eOM1设。综

上可得，对于任意的],0[，都有eaOMcos||1。探究2.设ba,是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则：（1）cos||aaeea，（2）0baba（3）当向量ba,

共线同向时，||||baba；当向量ba,共线反向时，||||baba。特别地，2||aaa或aaa||。（4）||||||baba牛刀小试：当ABCba时，0为钝角三角形；当ABCba时，0为直角三角形。达标检测1.【解析】B

C→·CA→＝|BC→||CA→|cos120°＝5×8×－12＝－20.【答案】B2.【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3.【解析】在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△AB

C为直角三角形．【答案】C4.【解析】向量a在e上的投影向量为eeea2345cos6cos||。