【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：10.1.2《事件的关系和运算》导学案 (含答案).doc，共(10)页，201.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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10.1.2事件的关系和运算1.理解并掌握时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．重点：件运算关系的实际含义．难点：事件运算关系的应用.一、温故知新1.随机试验：把对随机现象

的实现和对它的观察称为_________(简称试验)，常用字母E表示．特点:可重复性;可预知性;随机性2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用表示样本空间有限样本空间如果一个随机试

验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}随机事件我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的

事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点，在每次试

验中都不会发生.我们称⌀为不可能事件3.三种事件的定义在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件一、情境与问题从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂

,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点

数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件1234561212{1},{2}{3}{4}{5}{6}"

3"{1,2,3}"3"{4,5,6}“12"={1,2};"23"CCCCCCDDEE我们把上述事件用集合的形式写出来得到点数不大于点数大于点数为或下列数为或集合点={2,3}""={2,4,6}""={1,3,5}FG点数为偶数点数

为奇数我们借助集合与集合的关系和运算以及事件的相关定义，我们发现这些事件之间有着奇妙的联系，可以分为以下几种情况.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1

}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.这时我们说事件G包含事件C1.1）不可能事件记作；2）任何事件都包含不可能事件BAB若，且A，则称事件A与事等件B。

相B记：A=一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.112"3"{1,2,3};"12"={1

,2};"23"={2,3}DEE点数不大于点数为或点数为或121121112EE{1,2}U2,3{=1,2,3}EUE=DEEDD可以发现，事件和事件至少有一个发生，相当于事件发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是即这时我们称事件为事件和

事件的并事件.一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).122122212C{1,2}{2.3={2}.=CE}EE

CEII可以发现，事件E和E同时发生，相当于发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是即，我们称事件为事件和的交事件蓝色区域表示交事件用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”.它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3

与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩

B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.可以用图表示这两个事件互斥.其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G

两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此时我们

称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.其含义是：事件A与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事

件记为,可以用图表示为.1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。判断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥；(2)C2

,C3为对立事件;(3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F为对立事件；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.综上所述,

事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生

A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=ΩAA类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩

C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用

集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(

标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么

关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是().(A)至多一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶2.同时抛掷两枚硬币,向上面

都是正面为事件M,向上面至少有一枚是正面为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<N3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},则P∪Q＝,M∩Q＝__________

_____________.4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有一

名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A

与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即

同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判

断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．参考答案：知识梳理1随机试验特点:可重复性;可预知性;随机性学习过程1.答案：（2）错，其余都对例5分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A

,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(

1,1)}.(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},(0,0),(0,1)A,(0,0),(1,0)B(3)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示

这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示电路工作正常,ABÇ表示电路工作不正常；A∪B和ABÇ互为对立事件.例6用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2

是第二次摸到的球的标号Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),

(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),

(4,2)}(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2

=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.达标检测1.解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D2.A3.{向上的点数是1或3或4}{向上的点数是3}4.至少有一件是二级品5.[解析]判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发

生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们互斥不对立事件．(2)因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所

以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立．(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．[点评]判断两个互斥事

件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件．