【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：《7.1复数的概念》教案.doc，共(8)页，180.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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7.1复数的概念教学设计课题7.1复数的概念单元第七单元学科数学年级高一教材分析本节内容是复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念及几何意义，为复数的运算打好基础。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用坐标系和平

面向量将复数具体刻画出来，便于更好的理解复数的几何意义；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：通过数系扩充将数扩大到复数范围，以便于解决更多的实际问题，例如：一元二次方程判别式小于0时方程的解的问题；4.直观想象：利用数形结合法探究复数相关概念；5.数学运

算:能够正确理解复数的概念及其几何意义；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点数系扩充、复数概念及复数的几何意义难点复数概念及复数的几何意义教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：你还记得实

数的发展历程吗？数系的扩充自然数、整数、有理数、无理数、实数并用图形表示其包含关系。思考2：为什么要将数系进行扩充？数系每次扩充的基本原则：第一、增加新元素；第二、原有的运算性质仍然成立；第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.思考3：有没有解？012x方程无实数解

；因为负实数不能开平方。为了解决正方形对角线的度量，以及012x这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。根据这个方法，为了使负实数也能开平方，我们将数系进行扩充。依照这种思想，为了解决012x这样的方程在实数系中无解的问题，我们

设想引入一个新数i，使得x=i是方程的解。12i即学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念思考4：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数

i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配率。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，

结果记作a+bi.思考5：以上这些数有什么特点呢？所有实数以及i都可以写成a+biRba,的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。复数的概念的数叫做复数。我们把形如Rbabia,11,2ii且叫做虚数单位其中叫做复数集。全体复数构成

的集合RbabiaC,2了。中就有解在复数集这样，方程ixCx012复数的代数形式Rbabiazz,表示，即复数通常用字母的实部与虚部。分别叫做复数与。其中的都有复数zbaRbabiaz,Rbabiaz,即复数其中，a是实部，b是虚部，i为虚数单位，1

2i且复数的相等),,,(,,RdcbadicbiaRbabiaC中任取两个数在复数集dbcadicbia且相等当且仅当与我们规定：虚数与纯虚数；它是实数时，当且仅当它是实数；时，

，当且仅当对于复数0,00,0),(1zbaazbRbabia它叫做纯虚数。时，且当它叫做虚数；时，，当对于复数,00,0),(2bizbabiazbRbabia是实数。时当zb,0biaz复数是虚数。时当zb,0是纯虚数。时，特别地，且za0思考

：复数集C和实数集R有什么联系？我们已经知道复数有如下分类：biaz复数是实数。时当zb,0学生探究如何进行数系扩充。学生根据环环相扣的思考题，探究得出复数的概念。探究得出复数数系,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.是虚数。时当zb,

0是纯虚数。时，特别地，且za0显然，实数集R是复数集C的真子集。CR即由此可得，数的发展历程如下：自然数、整数、有理数、实数、复数小试牛刀1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a

＋bi为虚数．(×)(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．(√)(3)bi是纯虚数．(×)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√)2、

判断以下复数哪些是虚数？哪些是纯虚数；并说出实部和虚部。i231.23，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；i3212.321，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；i2133.213，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；i2

.04.2.00，虚部是部是是虚数也是纯虚数；实例题讲解纯虚数。虚数；实数；是下列数？取什么值时，复数、当实数例321111immzm是实数。时，复数，即当解：zmm101-1是虚数。时，复数，即当zmm101-2是纯虚数。时，复数，即

，且当zmmm1-01013例2、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：∵M∪P＝P，∴M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m

－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，学生通过例题和练习题，巩固复数概念，并能够灵活运用.学生根据思考题，探究得出复数的几何意义。利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.得

m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1.方法总结：解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．知识探究（二）：复数的几何意义思考1:我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数

可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？何表示方法吗？由此你能想到复数的几。）唯一确定；反之也对（对都可以由一个有序实数任何一个复数根据复数相等的定义，babiaz,是一一对应的。与有序实数对所以复数数对以唯一确定一个有序实并且任给

一个复数也可）唯一确定；对（都可以由一个有序实数因为任何一个复数babiazbabiaz,.,以建立一一对应关系。坐标系中的点集之间可所以复数集与平面直角的点是一一对应的，）与平面直角坐标系中有序实数对（ba,表示。可用点复数，，纵坐标是的

横坐标是如图所示，点baZbiazbaZ,规定：这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。.323,2--1-020,200,0ii表示复

数点，表示纯虚数，虚轴上的点，表示实数实轴上的点，表示实数例如，复平面内的原点按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应。由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。babiaZxy一

一对应biaz复数baZ,复平面内的点这就是复数的第一种几何意义。思考2:在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，那么，你能用平面向量来表示复数吗？唯一确定；由点，显然连接表示复数的点如图所示，设复平面内ZOZOZ

biazZ,唯一确定。也可以由反过来，点OZZ与零向量对应实数一一对应关系起点的向量建立了如下点为中的数与复平面内以原因此，复数集0C一一对应biaz复数OZ平面向量这就是复数的另一种几何意义。表示同一个复数。并且规定，相

等的向量，或说成说成点复数为方便起见，我们常把OZZbiazbiazbiazOZ或记作的模或绝对值。的模叫做复数如图，图中Rbababiaz,,22其中或即的绝对值，它的模就等于是一个实数

，那么如果aaabiazb0的大小。的模，并比较它们的模求复数对应的点和向量；在复平面内画出复数、设复数例212121,2,1.34,343zzzziziz.,,,1212121OZOZZZzz对应的向量为，对应的点分别

为如图所示，复数解：ObabiaZxy534342221iz53434222iz21zz所以变式训练1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3

)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得

m2－m－2<0，m2－3m＋2>0，∴－1<m<2，m>2或m<1，∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.2.已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别

为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数．解：由题意得O为原点，OA→＝(3,2)，OC→＝(－2,4)．(1)∵AO→＝－OA→＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO→表

示的复数为－3－2i.(2)∵CA→＝OA→－OC→＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，∴CA→表示的复数为5－2i.(3)∵OB→＝OA→＋OC→＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，∴OB→表示的复数为1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.思考:有怎样的关系？点21,ZZ一般地，当两

个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭复数。.,biazbiazzz那么表示，即如果的共轭复数用复数思考:有怎样的关系？平面内它们所对应的点是共轭复数，那么在复若21,zz横坐标相等，纵坐标

互为相反数.212;11,4zzZZzCz的集合是什么图形？下列条件的点，那么满足对应的点为在复平面内、设例为半径的圆。为圆心，以以原点的集合是，所以满足条件的点得模等于得，由解：1111OZOZz

12212zzz可化为不等式不等式合。的内部所有点组成的集的解集是圆不等式22zz合。的外部所有点组成的集的解集是圆不等式11zz。不包括边界圆环为半径的两个圆所夹的及以为圆心，集合是以原点不等式的解集。即所求这两个集合的交集就是21O变式训练设z∈C，则满足条件

|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．提升训练1、已知x是实

数，y是纯虚数，且满足iyyix)3()12(，求x与y．解：，则且设)0R(bbbiyibibiix)3()12(即ibbix)3()12(由复数相等的条件得

3112bbx234xb.4,23iyx2、在实数与复数范围内,讨论关于x的一元二次方程02cbxax(a、b、c∈R,a≠0)的根的情况。解：∵∆=b2-4ac当∆=0时，有两相等实根

；学生和教师共同探究完成3个提升训练。通过提升训练，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。当∆>0时，有两不等实根；aacbbx242当∆<0时，b2-4ac<0,4ac-b2>0，∆=i2（4ac-b2）abacibx242

3、设复数z=a+bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)对应，a，b必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？0b（2）虚轴上（不含原点）？00ba且（3）上半平面（含实轴）？0b（4）左半平面（不含虚轴）？0a课堂小

结1、数系的扩充与复数的概念；2、复数的两种几何意义；3、共轭复数。学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书教学反思