【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：《6.2.3向量的数乘运算》教案.doc，共(7)页，266.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.3向量的数乘运算教学设计课题6.2.3向量的数乘运算单元第六单元学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量的数乘运算，由向量加法导入，学习平面向量的数乘运算以及运算律这些知识点，同时根据数乘运算探究得到平面向量共线基本定理。教学目标与核

心素养1.数学抽象：利用有向线段将平面向量的数乘运算具体化；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握平面向量数乘运算，利用向量的运算解决实际问题。4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的数乘运算；5.数学运算

:能够正确计算和判断向量的数乘运算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。难点平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：如图，已知向量a、b，求作向量a+b.ab思考2：.)()()(aaaaaaa和作出：，已知非零向量思考3：�有什么关系？与和aaaaaaa)()()(学生思考问题，

引出本节新课内容。设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：数乘运算的定义规定：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算.记作a它的长度和方向规定如下：aa1的方向相同；的方向与时，

当aa02的方向相反。的方向与时，当aa0，方向任意。时，当00a知识探究（二）：数乘运算的几何意义思考4：你能说明a的几何意义吗？数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当

沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.0a时，1时，〈〈10时1a时，〈〈01aaaaa知识探究（三）：数乘运算的运算律思考5：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，

向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？ab5.3由已知得：abab5.3的方向相同，与思考6：如果把思考4中b的长度再伸长到原来的2倍，方向不变得到向量c，向量c该如何表示？向量a，c之间的关系怎样？acacacabbc775.3,2的方向相同，的方向与义可得：根据向量数乘

运算的定，可得又因为由已知得：数乘运算的运算律aa1aaa2baba3学生根据一连串的思考题，探究平面向量的数乘运算。学生根据环环相扣的思考题

，探究平面向量的数乘运算运算律。利用两个情境探究得出平面向量的数乘运算,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.特别地：aaababa思考7：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点

？向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。例题讲解a431ababa232cbacba23323a431原式解：a12ababa22332原式

b5cbacba23323原式cba25例2：如图MDMCMBMAbabADaABMABCD和表示用且的两条对角线相交于点平行四边形,,,,,ABDCMabbaADABDBbaADABACABCD中，解：在平行四边形角线互相平分，得由平行四

边形的两条对babaACMA21212121babaDBMB21212121baACMC212121baDBMD212121小试牛刀1、ba表示下列各题中的用学生例题，巩固

向量的数乘运算以及运算律，并能够灵活运用.利用数形结合的思想，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。;6,3)1(ebeaab2;14,8)2(ebeaab47;31,32)3(ebea

ab21;32,43)4(ebeaab982、如图，四边形ABCD是一个梯形，AB→∥CD→且|AB→|＝2|CD→|，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB→＝e1，AD→＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)AC→＝____

____；(2)MN→＝________.(1)因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，所以AB→＝2DC→，DC→＝12AB→.AC→＝AD→＋DC→＝e2＋12e1.(2)MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－12DC→－

AD→＋12AB→＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－e2.方法总结用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．知识探究（四）：平面向量共线基本定理思考：通过

练习，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？实数与向量的积与原向量共线平面向量共线基本定理：abbaa，使存在唯一一个实数共线的充要条件是：与向量0的一个非零向量表示。这条直线上线上的向量可以由位于也就是说，位于同一直，使数，都存在唯一的一个

实上的任意一个向量线上，那么对于直位于直线设非零向量备注：根据这一定理，.abblla例题讲解例3、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OAOBOCa+b,abab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。abABCb2b3b2ABO

BOAababb32ACOCOAababb2ACAB所以,A、B、C三点共线例4：的值。共线，求实数向量是两个不共线的向量，，已知tbaatbba2321,baatbbaatbbaba23

212321,.2321，使得共线，可知存在实数由为非零向量不共线，易知，解：由bat12321即02321,tba不共线，必有由02321,tba不共线，必有

由021t否则，不妨设bta21123则共线，与已知矛盾条件知，由两个向量共线的充要ba,31,0123021tt解得由312321,tbaatb共线时，因此，当向量小

试牛刀判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．(√)(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(√)(3)若ma＝mb，则a＝b.(×)(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(×)提升训练1、化简

1532423;11122323423-xyxya-bbaabababaa（1）=3a-2b（2）ba311211（3）=2ya2、设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1

＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解：∵BD→＝e1－4e2，而A，B，D三点共线，∴向量AB与向量BD共线，故存在实数λ，使得向量AB＝λBD即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，得2＝λ，k＝－4λ，得k＝－8为所求．方法总结向量共线定理的应用则

这两条直线平行。所在的直线无公共点，与，且若abaab01共线的重要方法。点三点共线。这是证明三从而公共点有与共线，又与则例如：则这两条直线重合。所在的直线有公共点，与，且若CBAAACAB

ACABACABabaab,,,,02学生和教师共同探究完成2个练习题。通过这2个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。课堂小结1.数乘运算的定义2.数乘运算的运算律3.平面向量共线基本定理abbaa，使存在唯一一个实数共线

的充要条件是：与向量04.定理的应用（1）向量共线（2）三点共线（3）两直线平行学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书§6.2.3向量的数乘运算一、旧知导入2.运算律三、课堂小结二、

探索新知3.共线基本定理四、作业布置1.定义例1、2、3、4教学反思