【文档说明】2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解).doc，共(7)页，333.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)1.5－13×－760＋80.25×42＋(32×3)6－－2323.[解](1)原式＝log322×8

329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、

分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.21．设3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为(

)A．6B．3C．2D．1D[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图

象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()ABCD(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.①如图，画出函数f(x)的图象；②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的

值域．(1)B[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(

－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]3(2)[解]①先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(

x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga

1＝0.2．函数y＝1＋log12(x－1)的图象一定经过点()A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C[把y＝log12x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log12(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小

【例3】若0<x<y<1，则()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.14x<14y4C[因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<

1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．对于D，函数y＝14x在R上单调递减，故14x>14y，D错误．]

1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问

题，要根据参数的取值进行分类讨论．3．设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>b>aC[∵a＝log2π>log22＝1，b＝log12π<log121＝0，c＝π－

2＝1π2，即0<c<1，∴a>c>b，故选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶

函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.5①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－logax＋2的值域．(1)

A[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln21－x－1，易知y＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数

．](2)[解]①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3x＋2＝(log3x)2－12

log3x＋2＝log3x－142＋3116.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝t－142＋3116∈3116，52，所以所求函数

的值域为3116，52.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋1＋x2)”，判断其奇偶性．[解]∵f(x)＝ln(x＋1＋x2)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋

1＋x2)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋1＋x2)＋ln(－x＋1＋x2)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解]由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]

，∴f(t)＝t2＋t－1＝t＋122－54，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整

体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，6常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10

%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解](1)最初的质量为500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t

.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝lg0.5lg0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率

问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可

使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)[解]设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得2100×23n≤11000，即23n≤120.7则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥1

＋lg2lg3－lg2≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．