【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册7.3.1《复数的三角表示式》学案 (含详解).doc，共(8)页，173.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】7.3.1复数的三角表示式（人教A版）1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数

表示与三角表示之间的转化.重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解.一、预习导入阅读课本83-85页，填写。1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、_______________

______为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于____________的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即____________.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成___

_________的形式．其中，r是复数的_______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来____________叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点____

________________________________.3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们____________与____________分别相等．1．复数1＋3i化成三角形式，正确的是

()A．2(cos2π3＋isin2π3)B．2(cosπ3＋isinπ3)C．2(cos5π3＋isin5π3)D．2(cos11π6＋isin11π6)2．两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C

．充要条件D．既不充分又不必要条件3．复数－2(sin10°＋icos10°)的三角形式为___________．题型一复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(cosπ5－isinπ5)；(3)z3

＝－sinθ＋icosθ.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(cos1112π＋isin1112π)；(2)z2＝12(cos23π－isin23π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isin

θ)．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）1322i；（2）1i.跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)3－

i;(4)－2(sin3π4＋icos3π4)．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）cossini；（2）11116cossin6

6i.跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(cosπ6＋isinπ6)；(2)z2＝2[cos(－π2)＋isin(－π2)]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135

°)．1．复数cossin44zi的辐角主值是（）A．34B．4C．34D．42．将复数4cossin22i化成代数形式，正确的是（）A

．4B．-4C．4iD．4i3．复数1cossin33i的代数形式是_____________.4．复数3cossin55zi的模是_____________.5．复数的代数形式与三角形式互化：（1）13i；（2）552cossin

66i.答案小试牛刀1.B.2．A.3.2(cos260°＋isin260°).自主探究例1【答案】(1)z1＝22(cosπ4＋isinπ4)．(2)z2＝2(cos9π5＋isin9π5).(3)z3＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ).【解析】(1)由“

角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝12＋12i，模r＝122＋122＝22，cosθ＝22，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝π4.即z1＝cos60°＋isin30°＝22(cosπ4＋isinπ4)．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上

的点Z2(2cosπ5，－2sinπ5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”变换到第四象限．所以z2＝2(cosπ5－isinπ5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin(2π－π5)]＝2(cos9π5＋isin9π5)．(3)由“余弦前

”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ).跟踪训练一1．【答案】(1)是三角形式．

(2)z2＝12(cos43π＋isin43π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(cos1112π＋isin1112π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝12(cos23π－isin23π)＝

－14－34i，模r＝12，cosθ＝－12.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝43π，即z2＝12(cos23π－isin23π)＝12(cos43π＋isin43π)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面

上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ

)＋isin(π＋θ)]．例2【答案】（1）作图见解析;13cossin2233ii（2）作图见解析;7712cossin44ii【解析】（1）复数1322i对应的向量如图所示，则221311,cos222r.因为与132

2i对应的点在第一象限，所以13arg223i.于是13cossin2233ii.（2）复数1i对应的向量如图所示，则22121(1)2,cos22r.因为与1i对

应的点在第四象限，所以7arg(1)4i.于是7712cossin44ii.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如2cossin44i也是

1i的三角形式.跟踪训练二1．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(cos3π2＋isin3π2)．(3)3－i＝2[cos(－π6)＋isin(－π6)]．(4)－2(sin3π4＋icos3

π4)＝2(cos3π4＋isin3π4)．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i

)＝3π2.所以－2i＝2(cos3π2＋isin3π2)．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝32，所以取θ＝－π6.所以3－i＝2[cos(－π6)＋isin(－π6)]．(4)－2(sin3π4＋icos3π4)＝－2＋2i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－22，所

以取θ＝3π4.所以－2(sin3π4＋icos3π4)＝2(cos3π4＋isin3π4)．例3【答案】（1）复数cossin的模1r，一个辐角，作图见解析,1（2）复数11116cossin66i的模6r，一

个辐角116，作图见解析,333i【解析】（1）复数cossini的模1r，一个辐角，对应的向量如图OA所示.所以cossin101ii.（2）复数11116cossin66i

的模6r，一个辐角116，对应的向量如图OB所示.所以111111116cossin6cos6sin6666ii316622i333i.跟踪训练三1．【

答案】(1)z1＝332＋32i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－522＋522i.【解析】(1)z1＝3(cosπ6＋isinπ6)＝3×32＋3×12i＝332＋32i.(2)z2＝2[cos(－π2)＋isin

(－π2)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－22)＋5×22i＝－522＋522i.当堂检测1-2.BD3．1322i4．35．【答案】（1）222cossin33i.（2）

3i【解析】（1）2132,arg133rii，所以22132cossin33ii.（2）55312cossin236622iii所以552cossin66

i=3i.