【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第9章《9.2.4总体离散程度的估计》(含解析).doc，共(10)页，208.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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19.2.4总体离散程度的估计学习目标核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点)2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点).1.通过对标准差、方差、极差概念

的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.1．一组数据x1，x2，„，xn的方差和标准差数据x1，x2，„，xn的方差为＝，标准差为.2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果

总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，„，YN，总体的平均数为Y，则称S2＝为总体方差，S＝S2为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，„，Yk，其中

Yi出现的频数为fi(i＝1,2，„，k)，则总体方差为S2＝.3．样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，„，yn，样本平均数为y，则称s2＝为样本方差，s＝s2为样本标准差．24．标准差的意

义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x－1，x－2，方差分别为s21，s22，则这个样本的方差为s2＝n1n[s21＋(x－

1－x－)2]＋n2n[s22＋(x－2－x－)2]．思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是80＋822＝81分吗？方差是2

＋42＝3吗？为什么？[提示]不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．思考2：数据x1，x2，„，xn的平均数是x－，方差为s2，数据x1，x2，„，xn，x－的方差为s21，那么s2与s21的大小关系如何？[提示]因为数据x1，x2，„，

xn，x－比数据x1，x2，„，xn更加相对集中，所以方差变小了，即s21＜s2.1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别

表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()图1图2图3A．s3＞s1＞s2B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3D．s3＞s2＞s1D[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，

所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]32．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为()A．1B.2C.3D．2B[∵样本容量n＝5，∴x－＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝15[1－32＋2－32＋3－32

＋4－32＋5－32]＝2.]3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则：(1)平均命中环数为；(2)命中环数的标准差为．(1)7(2)2[(1)x－＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s2＝1

10[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]方差和标准差的计算【例1】甲、乙两

机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件

的质量更稳定．[解](1)x－甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x－乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(9

8－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]4＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(

100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差

的大小不会超过极差．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x－A和x－B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.x－A>x－B，sA>sBB.x－A<

x－B，sA>sBC.x－A>x－B，sA<sBD.x－A<x－B，sA<sBB[x－A＝16(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，x－B＝16(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝353≈11.67.5s2A＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.

25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，s2B＝16[15－11.672＋10－11.672＋12.5－11.672]＋10－11.672＋

12.5－11.672＋10－11.672≈3.47.故x－A＜x－B，sA＞sB.]分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、

乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？[解]由题意可知x－甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为11＋4＝15，x－乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为41＋4＝45，则甲、乙两

队全部队员的平均体重为x＝15×60＋45×70＝68kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝15[200＋(60－68)2]＋45[300＋(70－68)2]＝296.计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1

)确定x1，x2，s21，s22，(2)确定x；(3)应用公式s2＝n1n[s21＋(x1－x)2]＋n2n[s22＋(x2－x)2]．计算s2.2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所

有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房6产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为．118．52[设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝1

1＋3＋6[s2＋(1.2－2.4)2]＋31＋3＋6[10＋(1.2－1.8)2]＋61＋3＋6[8＋(1.2－0.8)2]，解答s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]数据的数字特征的综合应用[探究问题]1．对一组数据进行统计分析，应该

从哪几个方面进行？[提示]平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？[提示]从众数、中位数、平均数

和方差等几个方面．【例3】在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[思路探究]分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，

从这几个方面进行统计分析．[解](1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4000＝80，7x乙＝14＋4＋16

＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)

2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]

＝256.∵x甲＝x乙，s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看

，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔

比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军

，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70m方可获得冠军呢？[解]甲的平均成绩和方差如下：x－甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋„＋(1.

67－1.69)2]＝0.0006.乙的平均成绩和方差如下：8x－乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋

„＋(1.75－1.68)2]＝0.00315.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m以

上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70m的可能性大于甲，所以若跳高1.70m方可获得冠军，应派乙参赛．数据分析的要点(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进

行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．(2)在进行数据分

析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般

多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．1．判断正误(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．()(2)若一组数据的值大小相等

，没有波动变化，则标准差为0.()9(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．()[提示](1)正确．(2)正确．(3)错误．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差

越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．[答案](1)√(2)√(3)×2．若样本数据x1，x2，„，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，„，2x10－1的标准差为()A．8B．15C．16D．32C[已知样本数据x1，x2，„，x10的标准差

为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，„，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.]3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20x甲2乙30x乙3其中x甲＝x乙，则两个班数学成绩的方差

为()A．3B．2C．2.6D．2.5C[由题意可知两个班的数学成绩平均数为x＝x甲＝x乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝2020＋30[2＋(x甲－x)2]＋3020＋30[3＋(x乙－x)2]＝2020＋30×2＋302

0＋30×3＝2.6.]4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；(2)估计高

一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．10[解](1)这10个学生体重数据的平均数为x＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,7

2，∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为s2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－7

1)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s＝s2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.