【文档说明】人教版高中数学必修第二册分层作业9《平面向量数量积的坐标表示》(含解析).doc，共(6)页，78.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1课时分层作业(九)平面向量数量积的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为()A.5B．－5C．1D．－1D[向量a＝(1,2)，b＝(3，

－4)，则a在b上的投影为：a·b|b|＝3－85＝－1，故选D.]2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝()A．3＋10B．3－10C．3±10D．－3±10C[∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴

a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±10.]3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．57C．63D．83D[因为|a|

2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sinθ等于()A.1010B.13C.31010D.45A[设b＝(x，y)，则

a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，所以2＋3x＝5，1＋3y＝4，解得x＝1，y＝1，2即b＝(1,1)，所以cosθ＝a·b|a||b|＝310，所以sinθ＝1－cos2θ＝1010.]5．已知向量a

＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1)B．(1,0)C.32，12D．(0，－1)A[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋

b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，因为(c－a)∥b，所以x－11＝y＋12，即2x－y－3＝0.由x－y－1＝0，2x－y－3＝0，解得x＝2，y＝1，所以c＝(2,1)．]二、填空题6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若

|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.－1或2[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]7．已知

a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－

3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．－46565[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所

示的平面直角坐标系，3则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝26，|a－b|＝10，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为－826·10＝－465

65.]三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝5，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标；(2)求向量a与b的夹角．[解](1)设a＝(x，y)，因为|a|＝5，则x2＋y2＝5，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋

b)⊥b，2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②解得x＝1，y＝2或x＝－2，y＝1，所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)设向

量a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝1，2·1，－31＋221＋－32＝－22或cosθ＝a·b|a||b|＝－2，1·1，－31＋221＋－32＝－22，因为0≤θ≤π，所以向量a与

b的夹角θ＝3π4.10．在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k4的值．[解]∵AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则AB→·AC→＝2×1＋3×k

＝0，∴k＝－23；若∠B＝90°，则AB→·BC→＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝113；若∠C＝90°，则AC→·BC→＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝3±132.综上，k的值为－23或113或

3±132.[等级过关练]1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．λ＞1B．λ＜1C．λ＜－1D．λ＜－1或－1＜λ＜1D[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即1λ≠－11，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ

＜－1或－1＜λ＜1.]2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为()A．3B．5C．7D．8B[如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设5DC＝a，DP＝x

，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则PA→＋3PB→＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，所以|PA→＋3PB→|＝25＋3a－4x2≥5.]3．如图所示，已知点

A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足OA→·OB→＝0，则向量OB→的坐标为________．－22，22[根据题意可设B(cosθ，sinθ)(0＜θ＜π)，OA→＝(1,1)，OB→＝(cosθ，sinθ)．由OA→·OB→＝0得sinθ＋co

sθ＝0，tanθ＝－1，所以θ＝3π4，cos3π4＝－22，sin3π4＝22，所以OB→＝－22，22.]4．已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上存在一点P使AP→·BP→有最小值，则点P的坐标是________．(3,0)[设点P的坐标是(x,0)，则AP

→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)，所以AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP→·BP→取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．]5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．6(1)求证：AB⊥

AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)

，又∵AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.(2)AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，∴AB→＝DC→.设C点坐标为(x，y)，则AB→＝(1,1)，DC→＝(x＋1，y－4)，∴x＋1＝1，y－4＝1，得x＝0，y＝5

.∴C点坐标为(0,5)．由于AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，所以AC→·BD→＝8＋8＝16＞0，|AC→|＝25，|BD→|＝25.设AC→与BD→夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→|·|BD→|＝1620＝45＞0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为4

5.