【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册教案：7.3.1《复数的三角表示式》 .doc，共(8)页，142.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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格致课堂【新教材】7.3.1复数的三角表示式教学设计（人教A版）《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.课程目标：1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;

2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的

代数表示与三角表示之间的转化.重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、情景导入提问：1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设

P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?格致课堂2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量OZ→＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量OZ

→的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本83-85页，思考并完成以下问题1、什么是辐角

，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.复数的辐角以x轴的

正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；

θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、

两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．四、典例分析、举一反三题型一复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．格致课堂(1)z1＝cos60°

＋isin30°；(2)z2＝2(cosπ5－isinπ5)；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.【答案】(1)z1＝22(cosπ4＋isinπ4)．(2)z2＝2(cos9π5＋isin9π5).(3)z3＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不

是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝12＋12i，模r＝122＋122＝22，cosθ＝22，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝π4.即z1＝cos60°＋isin30°＝22(cosπ4＋i

sinπ4)．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cosπ5，－2sinπ5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”变换到第四象限．所以z2＝2(cosπ5－isinπ5)＝2[(cos(2π－π5)

＋isin(2π－π5)]＝2(cos9π5＋isin9π5)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－si

nθ＋icosθ＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ).解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角

)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(cos1112π＋isin1112π)；(2)z2＝12(cos23π－isin2

3π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝12(cos43π＋isin43π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．格致课堂【解析】(1)z1＝2(cos1112π＋isin1112π)符合三角形式的结

构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝12(cos23π－isin23π)＝－14－34i，模r＝12，cosθ＝－12.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝43π，即z2＝12(cos23π－isin23π)＝12(cos43π＋isin43

π)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)

]．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）1322i；（2）1i.【答案】（1）作图见解析;13cossin2233ii（2）作图见解析;7712cossin4

4ii【解析】（1）复数1322i对应的向量如图所示，则221311,cos222r.因为与1322i对应的点在第一象限，所以13arg223i.于是13cossin2233ii

.（2）复数1i对应的向量如图所示，格致课堂则22121(1)2,cos22r.因为与1i对应的点在第四象限，所以7arg(1)4i.于是7712cossin44ii

.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如2cossin44i也是1i的三角形式.解题技巧：(复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限

求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式．跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)3－i;(4)－2(sin3π4＋icos3π4)．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(co

s3π2＋isin3π2)．(3)3－i＝2[cos(－π6)＋isin(－π6)]．(4)－2(sin3π4＋icos3π4)＝2(cos3π4＋isin3π4)．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以

1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝3π2.所以－2i＝2(cos3π2＋isin3π2)．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝32，所以取θ＝－π6.所以3－i＝2[cos(

－π6)＋isin(－π6)]．格致课堂(4)－2(sin3π4＋icos3π4)＝－2＋2i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－22，所以取θ＝3π4.所以－2(sin3π4＋icos3π4)＝

2(cos3π4＋isin3π4)．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）cossini；（2）11116cossin66i.【答案】（1）复数cossin的模1r，一

个辐角，作图见解析,1（2）复数11116cossin66i的模6r，一个辐角116，作图见解析,333i【解析】（1）复数cossini的模1r，一个辐角，对应的向量如图OA所示

.所以cossin101ii.（2）复数11116cossin66i的模6r，一个辐角116，对应的向量如图OB所示.所以111111116cossin6cos6sin6666ii

316622i333i.解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加

号连．格致课堂（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(cosπ6＋isinπ6)；(2)z2＝2[cos(－π2)＋isin(－π2)]；(3)z3＝5(co

s135°＋isin135°)．【答案】(1)z1＝332＋32i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－522＋522i.【解析】(1)z1＝3(cosπ6＋isinπ6)＝3×32＋3×12i＝332＋32i.(2)z2＝2

[cos(－π2)＋isin(－π2)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－22)＋5×22i＝－522＋522i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技

巧六、板书设计七、作业课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.7.3.1复数的三角表示式1.复数的辐角例1例2例32.复数的三角表示式特点：3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：格致课堂本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复

数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.