【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》(含解析).doc，共(12)页，275.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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16.3.4平面向量数乘运算的坐标表示学习目标核心素养1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点)2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)1.通过向量的线性运

算，提升数学运算的核心素养.2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数

与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y

1＝0.思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？[提示]不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知向量AB→＝(2,4)，AC→＝(0,2)，则1

2BC→＝()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)2D[12BC→＝12(AC→－AB→)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.]2．下列各对向量中，共线的是()A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(

4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)D[A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝2a，两个向量共线．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.－4[∵a∥b，∴6－3＝y2，解得y＝－4.]4．若A(

3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.－9[AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即AB→∥AC→，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组

向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)

，向量AB→与CD→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[思路探究](1)利用“纵横交错积相减”判断．(2)判断向量AB→，CD→平行→无相交点→AB∥CD(1)D[A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.]3(

2)[解]∵AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴AB→∥CD→.又AC→＝(2,6)，AB→＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.向量共线的判定方法提醒：向量

共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A(1，－3)，B8，12，C(9,1)，求证

：A，B，C三点共线．[证明]AB→＝8－1，12＋3＝7，72，AC→＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB→∥AC→，且AB→，AC→有公共点A，∴A，B，C三点共线.已知平面向量

共线求参数4【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[思路探究]法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；法二：可先利用

坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．[解]法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k

＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13<0，所以ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标

法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反

向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．5(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝_____

___.12[由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝12.]向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b

，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C．－45D.45(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．[思路探究](1)先由a∥b推出sinα与cosα的关系，求tanα，再用“1”的代换

求2sinαcosα.(2)要求点P的坐标，只需求出向量OP→的坐标，由OP→与OB→共线得到OP→＝λOB→，利用AP→与AC→共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由OP→∥OB→及AP→∥AC→，列出关于x，y的方

程组求解．(1)C[因为a∥b，所以cosα×1－(－2)×sinα＝0，即cosα＝－2sinα，tanα＝－12，6所以2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝2×－12－122＋1＝－45.](2)[解]法

一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)．由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝

(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二：(坐标法)设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得

x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．7[解]因为OC→

＝14OA→＝14(0,5)＝0，54，所以C0，54.因为OD→＝12OB→＝12(4,3)＝2，32，所以D2，32.设M(x，y)，则AM→＝(x

，y－5)，AD→＝2－0，32－5＝2，－72.因为AM→∥AD→，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM→＝x，y－54，CB→＝4，74，因为CM→∥CB→，所

以74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2.共线向量与线段分点坐标的计算[探究问题]1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？[提示]如图所

示，∵P为P1P2的中点，8∴P1P→＝PP2→，∴OP→－OP1→＝OP2→－OP→，∴OP→＝12(OP1→＋OP2→)＝x1＋x22，y1＋y22，∴线段P1P2的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22.2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)

，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？[提示]点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：①当P1P→＝13P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1

P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)＝23OP1→＋13OP2→＝2x1＋x23，2y1＋y23；②当P1P→＝23P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋23P1P2→＝OP1→＋23(OP2→－OP1→)9＝13OP1→＋23O

P2→＝x1＋2x23，y1＋2y23.3．当P1P→＝λPP2→时，点P的坐标是什么？提示：∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→

－λOP→，∴OP→＝OP1→＋λOP2→1＋λ＝11＋λ(x1，y1)＋λ1＋λ(x2，y2)＝11＋λx1，11＋λy1＋λ1＋λx2，λ1＋λy2＝x1＋λx2

1＋λ，y1＋λy21＋λ，∴Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.【例4】已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP→|＝2|PB→|，求点P的坐标．[思路探究]点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因

此应分类讨论．[解]设P点坐标为(x，y)，|AP→|＝2|PB→|.当P在线段AB上时，AP→＝2PB→，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，∴x－3＝－2－2x，y＋4＝4－2y，解得x＝13，y＝0，10∴P点坐标为13，0.当P在线段AB延长线上时，A

P→＝－2PB→，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴x－3＝2＋2x，y＋4＝－4＋2y，解得x＝－5，y＝8，∴P点坐标为(－5,8)．综上所述，点P的坐标为13，0或(－5,8)．1．若将本例条件“|AP→|＝2|PB→|”改为“AP→＝

3PB→”其他条件不变，求点P的坐标．[解]因为AP→＝3PB→，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，所以x－3＝－3－3x，y＋4＝6－3y，解得x＝0，y＝12，所以点P的坐标为0，12.2．若将

本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|AB→|＝3|AP→|”，求点A，B的坐标．[解]由题设知，A，B，P三点共线，且|AB→|＝3|AP→|，设A(x,0)，B(0，y)，①点P在A，B之间，则有AB→＝3AP→，∴(－

x，y)＝3(－2－x,3)，解得x＝－3，y＝9，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．②点P不在A，B之间，则有AB→＝－3AP→，同理，11可求得点A，B的坐标分别为－32，0，

(0，－9)．综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为x1＋x22，y1＋y22.(2)求线段P1

P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P1P→＝λP1P2→(λ≠0)，①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；②λ＝1时，P与P2重合；③λ＞1时，点P在

线段P1P2延长线上；④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的

坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行

的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依12据．1．判断正误(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

，且a与b共线，则x1x2＝y1y2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．()(3)若A，B，C三点共线，则向量AB→，BC→，CA→都是共线向量．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知两点A(

2，－1)，B(3,1)，则与AB→平行且方向相反的向量a可以是()A．(1，－2)B．(9,3)C．(－2,4)D．(－4，－8)D[由题意，得AB→＝(1,2)，所以a＝λAB→＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D.]3．已知平面向量a＝(1,2)

，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．(－4，－8)[∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O

是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解]∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，又A，B，C三点共线，∴由两向量平行，得(4－k)(k

－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．