【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册教案：6.2.3《向量的数乘运算》 .doc，共(7)页，117.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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格致课堂【新教材】6.2.3向量的数乘运算教学设计（人教A版）实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是

向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。课程目标1．掌握实数与向量的积的定义

以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的

思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解

决实际问题.重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。格致课堂一

、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa++和()()()aaa-+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习

课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完

成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、定义实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：（1）||||||λaλa=.（2）0λ>时，λa的方向与a的方向相同；当0λ<时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当0λ=或0a=时，0λa

=.2、实数与向量的积的运算律设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμaλaμa+=+；（2）()()λμaλμa=；（3）()λabλaλb+=+.3、向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa=.格致

课堂四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．【答案】(1)14a－9b.(2)－2a＋4b.【解析】(1)原式＝6a－4

b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提

取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当

运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.【答案】1、－53i－5j.2、

x＝111a＋211b，y＝311a－511b.．【解析】1、原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)格致课堂＝－53i－5j.2、联立方程组5x＋2y＝a，3x－y＝

b，解得x＝111a＋211b，y＝311a－511b.题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB―→＝a，AD―→＝b，DC―→＝c，试用a，b，c表示BC―→，MN―→.【答案】BC―→－a＋b＋c.MN―→＝1

2a－b－12c.【解析】BC―→＝BA―→＋AD―→＋DC―→＝－a＋b＋c.∵MN―→＝MD―→＋DA―→＋AN―→，又MD―→＝－12DC―→，DA―→＝－AD―→，AN―→＝12AB―→，∴MN―→＝12a－b－12c.解

题技巧：(用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D，E分别是△ABC的边

AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC―→＝a，BD―→格致课堂＝b，试用a，b分别表示DE―→，CE―→，MN―→.【答案】DE―→＝12a.CE―→＝－12a＋b.MN―→＝14a－b.【解析】由

三角形中位线定理，知DE平行且等于12BC，故DE―→＝12BC―→，即DE―→＝12a.CE―→＝CB―→＋BD―→＋DE―→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.MN―→＝MD―→＋DB―→＋BN―→＝12ED―→＋DB―→＋12BC―→＝－

14a－b＋12a＝14a－b.题型三共线定理的应用例3已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实

数k的值．【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.【解析】(1)证明：∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，且有公共点B．格致课堂∴A，

B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.∵e1与e2不共线，∴k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或

重合的思路）(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB―→＝λAC―→，则AB―→，AC―→共线，又AB―→与AC―→有

公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；2、已

知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP→＝xOA→＋yOB→，求x＋y的值．【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.【解析】1、证明：∵CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，∴BD→＝CD→－

CB→＝e1－4e2.又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴AB→＝2BD→，∴AB→∥BD→.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．2、解由于A，B，P三点共线，所以向量AB→，AP→在同一直线上，由向量

共线定理可知，必定存在实数λ使AP→＝λAB→，即OP→－OA→＝λ(OB→－OA→)，格致课堂所以OP→＝(1－λ)OA→＋λOB→，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，

9，12，13，14，15题.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，

既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l就可以用点A和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有

着密切的联系.6.2.3向量的数乘运算1.定义例1例2例3注意：2.向量线性运算3.向量平行充要条件