【文档说明】2021年高中数学必修第一册2.1《等式性质与不等式性质》导学案（含答案）.doc，共(10)页，290.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）1.会用不等式(组)表示不等关系；2.能够运用作差法比较两个数或式的大小.1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问

题；2.运用作差法比较代数式大小，对学生数学运算的要求较高1.我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做________

__.2．不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于3.比较两实数大小基本方法:(1)两个实数大小的比较原理①差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b⇔a－b＞0，a

＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b<0.②商值比较原理：设a、b∈R＋，则ab＞1⇔a＞b，ab＝1⇔a＝b，ab<1⇔a<b.(2)两个实数大小比较的一般步骤①作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.注：作差比较大小的关

键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．（一）、情境导学1.购买火车票有一项规定：随

同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿

童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。（二）、探索新知探究一用不等式表示不等关系例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，60

0mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．归纳总结;跟踪训练：1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用

不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？2．某工厂在招标会上，购得甲材料xt，乙材料yt，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120t，则x、y应满足的不等关系是()A．x＋y>120B．x＋y<120C．x＋y≥120D．x＋y≤120探究二比较数或式子的大小我们学习了关于实数大小比

较的一个基本事实：(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400

例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．归纳总结;跟踪训练1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；3.设a∈R且a≠0，比较a

与1a的大小．1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是()A.5x+4y

<200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤2002.若A=+3与B=+2,则A与B的大小关系是()A.A>BB.A<BC.A≥BD.不确定3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56000单

位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:(1)2

x2+3与x+2,x∈R;(2)a+2与,a∈R,且a≠1.1.用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);四列(不等式(组))”.2..作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解

配方通分分类讨论3.本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.参考答案：探究一例1.[解析]设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：500x＋600y

≤40003x≥yx≥0y≥0，即5x＋6y≤403x≥yx≥0y≥0.归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系

的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．跟踪训练：1.[解析]提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－x－2.50.1×0.2)

x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x－2.50.1×0.2)x≥20.2.[解析]由题意可得x＋y≥120，故选C．探究二例2．[解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x

＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配

方等)；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．跟踪训练1.[解析

]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0，∴M>N，故选A．2.[解析]x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－1a＝a－1a＋1a当a＝±1时，a＝1a；

当－1＜a＜0或a＞1时，a＞1a；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜1a.达标检测1.【答案】D2.【解析】由于A-B=+3->0,所以A>B,故选A.【答案】A3.【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,

ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(800x+400y)单位,则有故当a>1时,a+

2>;当a<1时,a+2<.4.【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(1

2-x)2<(13-x)2,故x应满足的不等关系为5.【解析】(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-.由于a2+a+1=>0,所以当a>1时

,>0,即a+2>;当a<1时,<0,即a+2<.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）1.掌握常用不等式的基本性质；2.会将一些基本性质结合起来应用。1.将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质；2.并能用不等式的性质证明一些简单的不等

式；一、设计问题,温故知新问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔____⇔2传递性a>b，b>c⇒_____⇒3

可加性a>b⇔a＋cb＋c可逆4可乘性a>bc>0⇒acbcc的符号a>bc<0⇒acbc5同向可加性a>bc>d⇒a＋cb＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒acbd同向同正7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N

*，n≥2)8可开方性a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)二、新知探究试证明下列不等式的性质(1)对称性文字语言不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价符号语言a>b⇔作用写出与原不等式等价且

异向的不等式跟踪训练.1.与m≥(n-2)2等价的是().A.m<(n-2)2B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤mD.(n-2)2<m(2)传递性文字语言如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量大于第三个量符号语言a>b,b>c⇒

变形a≥b,b≥c⇒a≥c;a<b,b<c⇒a<c;a≤b,b≤c⇒a≤c作用比较大小或证明不等式你能证明吗？(3)加法法则文字语言不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式.符号语言a>b⇒a+c

>变形a<b⇒a+c<b+c；a≤b⇒a+c≤b+c；a≥b⇒a+c≥b+c作用不等式的移项,等价变形(4)乘法法则文字语言不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.符号语言a>b,c>0⇒；a>b,c<0⇒变形a≥b,c>0⇒ac≥bc；a

≥b,c<0⇒ac≤bc；a<b,c>0⇒ac<bc；a<b,c<0⇒ac>bca≤b,c>0⇒ac≤bc；a≤b,c<0⇒ac≥bc作用不等式的同解变形(5)加法单调性文字语言两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式.符号语言a>b,c>d⇒a+c>b+d变形a<

b,c<d⇒a+c<b+d；a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d；a≤b,c≤d⇒a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式(6)乘法单调性文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式.符号语言a>b>0,c>d>0⇒ac>bd作用两个不等式相乘的变形(7)正

值不等式可乘方文字语言当不等式的两边都是时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式.符号语言a>b>0⇒(n∈N,且n≥1)作用不等式两边的乘方变形跟踪训练2.给出下列结论：①若ac>bc，则a>b；②若a<b，则a

c2<bc2；③若1a<1b<0，则a>b；④若a>b，c>d，则a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，则ac>bd.其中正确结论的序号是____.典例解析：用不等式的性质证明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea－c>eb－d.跟踪训练1：若bc－ad≥0，bd>0

，求证：a＋bb≤c＋dd.典例解析：利用不等式的性质求取值范围例2已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．跟踪训练2：已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)ab.1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是()A．a

－c<b－dB．ac>bdC.ad<bcD．ad>bc2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b≥b－cB．ac≥bcC.c2a－b>0D．(a－b)c2≥03．设2<a<3，-2<b<-1，则2a-b的范围是________

．4.已知a>b>0，c<d<0.求证：3ad<3bc.一、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔____⇔2传递性a>b，b>c⇒_____⇒3可加性a>b⇔a＋cb＋c可逆4可乘性a>

bc>0⇒acbcc的符号a>bc<0⇒acbc5同向可加性a>bc>d⇒a＋cb＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒acbd同向同正7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)8可开方性a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)二、运用不等

式解决的基本问题由那些？参考答案：新知探究（1）证明:∵a>b,∴a-b>0，由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a，同理可证,如果b<a,那么a>b.跟踪训练1.答案:C（3）证明:∵(a+c)-(

b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.（4）证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc.（5）证⇒a+c>b+d.（6）证明:∵a>b>0,c>

0,∴ac>bc，∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.跟踪训练2.解析①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当c<0时，由ac>bc⇒a<b，故①错．②当c≠0时，由a<b⇒ac2<bc2，当c＝0时，由a<b⇒/ac2<bc2，故②错．③∵1a<1b<0，∴a

<0，b<0，∴ab>0，∴1a·ab<1b·ab，即b<a，∴a>b，故③正确．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d错误．⑤a>b>0c>d>0⇒ac>bd，0>a>b0>c>d⇒ac<bd，但a>b>00>c>d⇒/ac>b

d，0>a>bc>d>0⇒/ac>bd.典例解析例1.∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<1a－c<1b－d，又∵e<0，∴ea－c>eb－d.跟踪训练．解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴a

d＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴1bd>0，∴ad＋bdbd≤bc＋bdbd，∴a＋bb≤c＋dd.例2解析∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.两式相加，得－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π

4，∴－π2≤α－β2<π2.又∵α<β，∴α－β2<0.∴－π2≤α－β2<0.跟踪训练(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a

<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴14<1b<13，又1<a<2，∴14<ab<23.达标检测1.解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确．答案：B2.解析：∵a>b，∴a－b>0.选项A中，当c＝0时，(a＋b)－(

b－c)＝a＋c，由于a∈R，则选项A不成立；选项B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，则选项B不成立；选项C中，由于c∈R，则c2≥0，∴c2a－b≥0，则选项C不成立；选项D中，a－b>0，c2≥0，∴(a－

b)c2≥0，则选项D成立．答案：D3.解析：4<2a<6，-2<b<-1，∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a-b<8答案：5<2a-b<84.解析∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－1c<－1d.又∵a>b>0，∴－ad>－b

c>0.∴3－ad>3－bc，即－3ad>－3bc.两边同乘以－1，得3ad<3bc.