【文档说明】人教版高中数学必修第二册分层作业14《余弦定理、正弦定理的应用举例》(含解析).doc，共(9)页，198.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-38404.html

以下为本文档部分文字说明：

1课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理的应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB

．8mC．33mD．43mD[由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，即AB＝AC·sinCsinB＝4·sin120°sin30°＝43.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔

P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.1762nmile/hB．346nmile/hC.1722nmile/hD．342nmile/h

A[如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346，2∴v＝MN4＝1762nmile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛

沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/时B．14海里/时C．142海里/时D．20海里/时B[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠

BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出

地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，3在Rt△AOD中，OA＝OD·t

an60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．156mB．206mC．256mD．306mD[设建筑物的

高度为hm，由题图知，PA＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2

h.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m．]二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡

底要伸长千米．2[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsinC＝ACsin∠ABC，4∴AC＝AB·sin∠ABCsinC＝1×2212＝2(千米)．]7．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人

员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为km.3[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsinCsinA＝2×1×32＝3(km)．]8．一次机器人足

球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝42dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的

时间，则该机器人最快可在距A点dm的C处截住足球．7[设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦

定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝373.∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快

可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．]三、解答题9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的5军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精

锐部队的距离．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理有DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6

＋2422＝3＋34a，在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2×32a×3＋34a×32＝38a2.∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.1

0．岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的

速度前往拦截．6(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．[解](1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°

－45°＝60°.在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC得AB＝BCsin∠ACBsin∠BAC＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.所以海监船接到通知时，距离岛A56海里．(2)设海监

船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·－12，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(

舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．(或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)[等级过关练]1．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B

，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()7A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)mC[由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，

∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝ACsin∠BACsin∠ABC＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．]2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发

以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157分钟C．21.5分钟D．2.15小时A[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120

°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28t－5142＋6757.当t＝514时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．]

3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心830千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为小时.1[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝

x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－402x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝

20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝CDv＝2020＝1(小时)．]4．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了nmile.北偏东30°3a[如图

所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝3tv，又B＝120°，则由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得1sin∠CAB＝3sin120°，∴sin∠CAB

＝12，∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，9∴AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－

12＝3a(nmile)．]5．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯

角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．[解]方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM

.由正弦定理AM＝dsinα2sinα1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝dsinβ2sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1.方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，

β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝dsinα1sinα1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝dsinβ1sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋B

N2－2BM·BNcosπ－β2－α2.