【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第六章 章末综合检测 (含解析).doc，共(7)页，129.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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章末综合检测(六)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a＋b|＝1，

所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

解析：选C.由正弦定理asinA＝bsinB⇒2sinA＝3sinB，则sinA＝23sinB＝22.因为a<b，所以A<B，所以A＝45°.3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b＝(

)A．3B．22C．2D.3解析：选C.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，所以b＝2.4．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.13B.23C.12D.34

解析：选B.由已知得CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，因此λ＝23，故选B.5．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且AD→＝2AB→－3BC→，则点D的坐标为()A．(

2，16)B．(－2，－16)C．(4，16)D．(2，0)解析：选A.设D(x，y)，由题意可知AD→＝(x＋1，y－2)，AB→＝(3，1)，BC→＝(1，－4)．所以2AB→－3BC→＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以

x＋1＝3，y－2＝14，解得x＝2，y＝16.故选A.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则bsinAa的值为()A．1B.12C.22D.32解析：选D.由余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，得2

ac·sinB＝3ac，得sinB＝32，由正弦定理asinA＝bsinB，得bsinAa＝sinB＝32，故选D.7．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝14，则ac

＝()A．2B.12C．3D.13解析：选A.因为sin2B＝2sinAsinC，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cosB＝14，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×14＝2ac，即2×

ac2－5×ac＋2＝0，解得ac＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形解析：选C.由A

B→＋CD→＝0，即AB→＝DC→，可得四边形ABCD为平行四边形，由(AB→－AD→)·AC→＝0，即DB→·AC→＝0，可得DB→⊥AC→，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝26

，则AB→·AC→＝()A．1B．2C．－2D．－1解析：选C.AB→·AC→＝(AD→＋DB→)·(AD→＋DC→)＝(AD→＋DB→)·(AD→－DB→)＝AD→2－DB→2＝4－6＝－2.10．在△ABC中，若|AB→|＝1，|AC→|＝3，|AB→＋AC→|＝|B

C→|，则AB→·BC→|BC→|＝()A．－32B．－12C.12D.32解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB→＋AC→|＝|BC→|时，∠A＝90°.又|AB→|＝1，|AC→|＝3，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC→|＝2，所以AB→·BC→

|BC→|＝|AB→||BC→|cos120°|BC→|＝－12.11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝65，BD＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于()A．16B．352C．18D．32解析：选A.设AB＝CD＝a，AD＝BC＝

b，则2（a＋b）＝18，65＋17＝2（a2＋b2），解得a＝4，b＝5或a＝5，b＝4.所以cos∠BAD＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin∠BAD＝45，S＝4×5×45

＝16.12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝12bcsinA＝10，b＝4，则a的值为()A.233B.253C.263D.283解析：选B.由3acosC＝4csinA得a

sinA＝4c3cosC，又由正弦定理asinA＝csinC，得csinC＝4c3cosC⇒tanC＝34，由S＝12bcsinA＝10，b＝4⇒csinA＝5，由tanC＝34⇒sinC＝35，又根据正弦定理，得a＝csin

AsinC＝535＝253.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，

所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，所以λ＝t，1＝2t，所以λ＝12，t＝12.答案：1214．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5s

inB，则角C＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝5b3，c＝2a－b＝7b3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，又0<C<π，因此角C＝2π3.答案：2π315．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a

，b，c，已知c＝2，C＝π3.若sinB＝2sinA，则△ABC的面积为________．解析：因为sinB＝2sinA，所以b＝2a.又因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.所以a＝

233，b＝433.所以S△ABC＝12absinC＝233.答案：23316．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________米．解析

：示意图如图，设塔高x米，则BC＝x米，BD＝3x米(x>0)．因为CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×－12，所以2x2－100x－10000＝0.

所以x2－50x－5000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，

a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，(1)c∥d；(2)c⊥d.解：由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×12＝3.(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝95.(2)当c

⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，所以k＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的

值；(2)若△ABC的面积为4，求b，c的值．解：(1)因为cosB＝35，所以sinB＝45.因为a＝2，b＝4，所以sinA＝asinBb＝2×454＝25.(2)因为S△ABC＝4＝12×2c×45，所以c＝5，所以b＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已

知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB→＝2e1＋e2，BE→＝－e1＋λe2，EC→＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(3)已知点D(3，5)，在(2

)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．解：(1)AE→＝AB→＋BE→＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE→＝kEC→，即e1＋(1＋λ)e2＝

k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以1＋2k＝0，k－1－λ＝0，解得k＝－12，λ＝－32.(2)BC→＝BE→＋EC→＝－3e1－12e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．

(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD→＝BC→.设A(x，y)，则AD→＝(3－x，5－y)．因为BC→＝(－7，－2)，所以3－x＝－7，5－y＝－2，解得x＝10，y＝7，即点A的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A

，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求a＋bsinA＋sinB的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理asinA＝bsinB＝c

sinC，得asinA＝bsinB＝a＋bsinA＋sinB＝csinC＝2sin60°＝433，所以a＋bsinA＋sinB＝433.(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)

2－3ab.因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝12absinC＝12×4×32＝3.21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A

＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去

)，cosB＝1517.(2)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4.所以b

＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长

；(2)求△ADE的面积．解：(1)因为c＝4，b＝2，2ccosC＝b，所以cosC＝b2c＝14.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝

2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝

2，所以CE＝13BC＝43，DE＝2－43＝23.又因为cosC＝14，所以sinC＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝12×DC×AC×sinC－12EC×AC×sinC＝12×DE×AC×sinC＝156.