【文档说明】人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷七（解析版）.doc，共(11)页，709.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷七一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(，ma，)31(mb，，若存在实数0，使得b

a，则实数m的值为()。A、4B、512C、1D、1【答案】D【解析】∵ba，∴)31()4(mm，，，则)3(4mm，解得4或1，又0，∴1，∴1m，故选D。2．下列说法中错误的是()。A、两条平行线段在直观图中

对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是135【答案】B【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、

C、D正确，故选B。3．在下列命题中，正确命题的个数为()。①两个复数不能比较大小；②若ixxx)23()1(22是纯虚数，则实数1x；③z是虚数的一个充要条件是Rzz；④若a、b是两个相等的实数，则ibab

a)()(是纯虚数；⑤Rz的一个充要条件是zz；⑥1||z的充要条件是zz1。A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，1x时，0)23()1(22

ixxx，②错，z为实数时，也有Rzz，③错，0ba时，0)()(ibaba，④错，⑤⑥正确，故选B4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是()。A、平面内任意一条直线与平面垂直B、平面、都垂直于同一条直线C、平面

、都垂直于同一平面D、平面内存在一条直线与平面垂直【答案】D【解析】若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面、都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面、都垂直

于同一平面，则平面、可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平

面，故选项D正确；故选D。5．如图，在长方体DCBAABCD中，用截面截下一个棱锥DDAC，则棱锥DDAC的体积与剩余部分的体积之比为()。A、51：B、41：C、31：D、21：【答案】

A【解析】设aAB，bAD，cDD，则长方体DCBAABCD的体积abcV，又bcSDDA21，且三棱锥DDAC的高为aCD，∴abcCDSVDDADDAC6131三棱

锥，则剩余部分的几何体体积abcabcabcV6561剩，则516561：：：剩三棱锥abcabcVVDDAC，故选A。6．四面体BCDA中，10CDAB，342BDAC，412BCAD，则四面体BCDA外接球的表面积为()。A、50B、100C、

200D、300【答案】C【解析】将四面体BCDA置于一个长方体中，∴四面体BCDA的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则根据图形可有100164136

222222cacbba，则外接球的直径2102002222cbaR，∴25R，则球的表面积为20042RS，故选C。7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆

都相切，a、b、c、d是其中四个圆的圆心，则cdab()。A、14B、26C、38D、42【答案】B【解析】如图所示，建立以1e、2e为一组基底的基向量，其中1||||21ee且1e、2e的夹角为60°

，∴2142eeab，2124eecd，∴26211120882088)24()42(2122212121eeeeeeeecdab，故选B。8．在长方体1111DCBAABCD中，11

ADAA，2AB，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面1111DCBA交于R、S两点，R、S分别在下底面的边11CB、11BA上，211SB，平面PSRQ与棱1AA交于点T，则直线TS与侧面DADA11所成角的正切值为()。A、25B、2

C、3D、25【答案】A【解析】延长PT和SR交于点E，连接QR，∵PQ平面ABCD，平面//ABCD平面1111DCBA，∴1111//DCBAPQ，且11////CAACPQ，∵RSDCBAPQRS1111，∴RSPQ//，∴11//CARS，∴4122111

111CBRBABSB，又111ADCB，∴411RB，∵ESA1∽RSB1，∴241211111RBSBEASA，且23111SBABSA，∴431EA，∵APT∽ETA1，∴TAEAATAP1

1，且2121ADAP，∴23214311APEAATTA，又111AAATTA，∴531TA，又直线TS与侧面DADA11所成角为TSA1，则255323tan111TASA

TSA，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设i为虚数单位，则下列命题错误的是()。A

、Ra，复数ia3是纯虚数B、在复平面内)2(ii对应的点位于第三象限C、若复数iz21，则存在复数1z，使得Rzz1D、Rx，方程02ixx无解【答案】ABD【解析】A选项，只有当3a时，复数ia3是纯虚数，错，B选项，12)2(iii，对应的点位于第一象限

，错，C选项，若复数iz21，则存在复数iz211，使得Rzz1，对，D选项，0x，方程02ixx成立，错，故选ABD。10．如图所示，在正方体1111DCBAABCD中，M、N分别是1BB、BC的中点，则图中阴影部分

在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】A选项为在11BBCC上的投影，C选项为在11CCDD上的投影。11．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有()。A、

0)()(baccbaB、||||||babaC、bacacb)()(不与c垂直D、22||4||9)23)(23(bababa【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知||a、||b、|

|ba恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故B真，C选项，∵0)()(])()[(cbaccacbcbacacb，∴bacacb)()(与c垂直，故C假，D选项，22

||4||92233)23)(23(babbaababa，成立，故D真，故选BD。12．如图，在直角梯形ABCD中，CDBC，CDAE，且E为CD的中点，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿A

E折起，则下列说法正确的是()。A、不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有//MN平面CDEB、不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有AEMNC、不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有ABMN//D、在折起过程

中，一定存在某个位置，使ADCE【答案】ABD【解析】由已知，在未折叠的原梯形中，DEAB//，ADBE//，∴四边形ABED为平行四边形，∴ADBE，折叠后如图所示，A选项，过点M作DEMP//，交AE于点P，连接NP，∵M、N分别是AD、BE的中

点，∴点P为AE的中点，故CENP//，又PNPMP，ECEDE，∴平面//MNP平面CDE，故//MN平面CDE，对，B选项，由已知，DEAE，CDAE，∴PMAE，PNAE，又PPNPM，∴AE平面PMN，又MN平面PM

N，∴AEMN，对，C选项，假设ABMN//，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错，D选项，当DECE时，ADCE，∵AECE，DECE，EDEAE，∴

CE平面ADE，AD平面ADE，∴ADCE，对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算100100912)321()32()31()22(iiiiz。【答案】511【解析】原式51112)(1)232

1()2(2)]32([)32()2321(2)1(29100963100100991212iiiiiiii。14．已知在正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异

面直线BM与AO所成角的余弦值为。【答案】32【解析】设正四面体的棱长为1，则23BM，高36)2332(12AO，设点M在底面内的射影是N，则6621AOMN，∴BMN即为所求异面直线BM

与AO所成角，则32cosBMMNBMN。15．已知非零向量a、b满足2||b，ba，且b与ba的夹角为60，则||a的取值范围是。【答案】)2(，【解析】令bac，则cba，b与c的夹角为60，∴3)1|(|4||2||260cos||22||2||||22222

222cccccccbbcba，又0||c，∴4||2a，∴||a的取值范围是)2(，。16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到

点P处，若该小虫爬行的最短路程为34，则这个圆锥的体积为。【答案】812128【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP，由余弦定理可得212cos222POOPPPPOOPOPP

，∴32OPP，设底面圆的半径为r，则有382r，解得34r，∴这个圆锥的高为32891616h，这个圆锥的体积为812128328916313132831312

rShV。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知ixxz1221、iaxz)(22，对于任意Rx，均有||||21zz成立，试求实数a的取值范围。【解析】∵||||2

1zz，∴2224)(1axxx，2分∴0)1()21(22axa对Rx恒成立，4分当021a，即21a时，不等式恒成立，6分当021a时，2110)1)(21(40212

aaaa，9分综上，]211(，a。10分18．（本小题满分12分）已知三个点)12(，A，)23(，B，)41(，D。(1)求证：ADAB；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦

值。【解析】(1)证明：∵)12(，A，)23(，B，)41(，D，∴)11(，AB，)33(，AD，2分∵031)3(1ADAB，∴ADAB，即ADAB；4分(2)解：∵ADAB，四边形ABCD为矩形，∴DCAB，5分设C点坐标为)(yx，，则)41

(yxDC，，6分∴1411yx，解得50yx，∴点C坐标为)50(，，7分从而)42(，AC，)24(，BD，且52||AC，52||BD，1688BDAC，9分设AC与BD的夹角为，则542016||||cos

BDACBDAC，11分∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为54。12分19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱1111DCBAABCD中，E、F分别为棱11BA、11DA的中点。(1)在图中作一个平面，使得BD，且平面//AEF；(

不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱1111DCBAABCD的截面。)(2)若21AAAB，60BAD，求点C到所作截面的距离。【解析】(1)如图，取11CB、11DC的中点M、N，连接BM、MN、ND，则平面BMND即为所求平面

；6分(2)设点C到平面BMND的距离为h，由等体积法得：BCDMBDMCVV，又33260sin21313111BBCDBCBBSVBCDBCDM，8分∵52121

MBBBDNBM，又22MNBD，∴219)2(2122MNBDBMBDSBDM，10分又由BCDMBDMCVV得：33261931hhSBDM，∴19574h。12分20．（本小题满分12分）如图，

在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF平面ABCD，CDEF//，CFBF，四边形ABCD为平行四边形，且45BCD。(1)求证：CDBF；(2)若2AB，1DEEF，2BC，求此五面体的体积。【解析】(1)过F作CDFO交CD于

O，连接BO，由平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面CDABCD，得FO平面ABCD，∴BOFO，2分∵CFBF，FOFO，90FOBFOC，∴BFO≌CFO，∴COBO，由已知45BCD得

BOC为等腰直角三角形，∴CDBO，4分又CDFO，OFOBO，FOBO、平面BFO，∴CD平面BFO，BFCD；6分(2)取AB中点G，连接FG、OG，由(1)可知，1EFOD，又CDEF//，∴四边形ODEF为平行四边形，棱柱DEAOFG为斜棱柱且OBF为此斜棱柱的

直截面，在四棱锥OCBGF中，由(1)知，CDFO，又平面CDEF平面ABCD，∴FO平面OGBC，∴OFSEFSVVVOCBGBFOOCBGFDEAOFGABCDEF四边形四棱锥斜棱柱五面体316531211112123111121

。12分21．（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，2BEDCDACABCAB，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上。(1)求证：//DE平面ABC；(2)求多面体ABCDE的体积。【解析】(

1)证明：由题意知，ABC、ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO、DO，则ACBO，ACDO，∵平面ACD平面ABC，∴DO平面ABC，2分作EF平面ABC，则DOEF//，根据题意点

F落在BO上，∴60EBF，易求得3DOEF，∴四边形DEFO是平行四边形，OFDE//，4分∵DE平面ABC，OF平面ABC，∴//DE平面ABC；5分(2)解：∵平面ACD平面ABC，ACOB，∴OB平面ACD，又∵OBDE//，∴DE平面DAC

，7分∴三棱锥DACE体积333)13(331311DESVDAC，9分又三棱锥ABCE体积13331312EFSVABC，11分∴多面体ABCDE体积为33621VVV。12

分22．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥ABCDP，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD//，BCAB，221ADBCABPA，E为PD边上的中点。(1)证明：//CE平面PAB；(2)证

明：平面PAC平面PCD；(3)求三棱锥ACEP的体积。【解析】(1)如图，取PA的中点F，连接BF、EF，∵E为PD中点，∴ADEF//，且ADEF21，∵BCAD//，ADBC21，∴BCEF//且BCEF，∴四边形BCEF是平行四边

形，2分∴BFCE//，又CE平面PAB，BF平面PAB，∴//CE平面PAB；4分(2)在直角梯形ABCD中，221ADBCAB，∴22CDAC，∴222CDACAD，即ACCD，6分又PA平面ABCD，∴CDP

A，又AACPA，∴CD平面PAC，∵CD平面PCD，∴平面PAC平面PCD；8分(3)∵E为PD边上的中点，PA平面ABCD，∴PASVVVVACPACDPACPDACPEACEP31212121，10分∵44

221ACDS，2PA，∴34243121ACEPV。12分