【文档说明】2021年人教版高中数学必修第一册课时同步练习49《简单的三角恒等变换》(含答案详解).doc，共(8)页，99.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1课时同步练习(四十九)简单的三角恒等变换(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数f(x)＝cos2x＋π4，x∈R，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数D[原式＝12

1＋cos2x＋π2＝12(1－sin2x)＝12－12sin2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．已知cosα1＋sinα＝3，则cosαsinα－1的值为()A.33B．－33C.3D．－3B[∵cosα1＋sinα·

cosαsinα－1＝cos2αsin2α－1＝1－sin2αsin2α－1＝－1且cosα1＋sinα＝3，∴cosαsinα－1＝－33.]3．在△ABC中，若cosA＝13，则sin2B＋C2＋cos2A＝()A．－19

B.19C．－13D.132A[sin2B＋C2＋cos2A＝1－cosB＋C2＋2cos2A－1＝1＋cosA2＋2cos2A－1＝－19.]4．已知tan2α＝34，α∈－π2，π

2，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sinα－π4的值为()A．－255B．－55C．－235D．－35A[由tan2

α＝34，即2tanα1－tan2α＝34，得tanα＝13或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tanα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－

310，cosα＝110，所以sinα－π4＝sinαcosπ4－cosαsinπ4＝－255，故选A.]5．已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为()

A．2π，3π8，7π8B．π，3π8，7π8C．2π，－π8，3π8D．π，－π8，3π8B[∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x－π4，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，由π2＋

2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，得f(x)的单调减区间为33π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z，当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间3π8，7π8，故选B.]二、填空题6．有以下四个关于三角函数的命题：①∃x0

∈R，sin2x02＋cos2x02＝12；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π]，1－cos2x2＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝π2.其中假命题的序号为________．①④[因为sin2x2＋c

os2x2＝1≠12，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为1－cos2x2＝1－1－2sin2x2＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝π2，y＝2π时，sinx＝cos

y，但x＋y≠π2，所以④为假命题．]7．化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin2α＝________.(2)α为第三象限角，则1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝________.(1)sinα－cosα(2)

0[(1)∵α∈π4，π2，∴sinα＞cosα，∴1－sin2α＝1－2sinαcosα＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝sinα－cosα2＝sinα－cosα.(2)∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα

＜0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.]48．函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是______

__．[－5,3][f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)取得最大值3，当sinx＝－1时，f(x)取得最小值－5，所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]三、解答题9．求证：tan3x2－tanx2

＝2sinxcosx＋cos2x.[证明]法一：(由左推右)tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝sin3x2cosx2－cos3x2sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2＝sinxcos3x2cos

x2＝2sinxcos3x2＋x2＋cos3x2－x2＝2sinxcosx＋cos2x.法二：(由右推左)2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x25＝2

sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.10．已知函数f(x)＝2cos2x2，g(x)＝sinx2＋cosx22.(1)求证：fπ2

－x＝g(x)；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．[解](1)证明过程如下：f(x)＝2cos2x2＝1＋cosx，g(x)＝sinx2＋cosx22

＝1＋2sinx2cosx2＝1＋sinx，∵fπ2－x＝1＋cosπ2－x＝1＋sinx，∴fπ2－x＝g(x)，命题得证．(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝222cos

x－22sinx＝2cosx＋π4，∵x∈[0，π]，∴π4≤x＋π4≤5π4，当π4≤x＋π4≤π，即0≤x≤3π4时，h(x)递减，当π≤x＋π4≤5π4，即3π4≤x≤π时，h(x)递增．6∴函数h(x)的单调递减区间为0，3π4，单调递增区间

为3π4，π，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝3π4时，函数h(x)取到最小值．[等级过关练]1．设a＝12cos7°＋32sin7°，b＝2tan19°1－tan219°，c＝1－cos72°2，则有()A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．

c＞b＞aA[∵a＝sin37°，b＝tan38°，c＝sin36°，∴b＞a＞c.]2．设α∈0，π2，β∈0，π2，且sinαcosα＝cosβ1－sinβ，则()A．2α＋β＝π2B．2α－β＝π2C．α＋2β＝π2D．α－2β＝π2B

[由题意得sinα－sinαsinβ＝cosαcosβ，sinα＝cos(α－β)，∴cosπ2－α＝cos(α－β)．∵π2－α∈0，π2，α－β∈－π2，π2，∴π2－α＝α－β或π2－α＋

α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝π2.]3．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，则f(x)的最大值是()A．1B．2C.3＋1D.3＋27B[f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝1＋3sinxcosxc

osx＝3sinx＋cosx＝2sinx＋π6.∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3，∴当x＋π6＝π2时，f(x)取到最大值2.]4．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝

0，则cosθ2＝________.±35[由25sin2θ＋sinθ－24＝0，又θ是第二象限角，得sinθ＝2425或sinθ＝－1(舍去)．故cosθ＝－1－sin2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos

θ2得cos2θ2＝925.又θ2是第一、三象限角，所以cosθ2＝±35.]5．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝3x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈－π2，π2.(1)若sinα＝13，求cos∠POQ

；(2)求△OPQ面积的最大值．[解](1)由题意知∠QOM＝π3，因为sinα＝13，8且α∈－π2，π2，所以cosα＝223，所以cos∠POQ＝cosπ3－α＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝22＋36.(2)由三角函数

定义，得P(cosα，sinα)，从而Q(cosα，3cosα)，所以S△POQ＝12|cosα||3cosα－sinα|＝12|3cos2α－sinαcosα|＝1232＋3cos2α2－12sin2α＝1232＋sin

π3－2α≤1232＋1＝34＋12.因为α∈－π2，π2，所以当α＝－π12时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为34＋12.