【文档说明】2021年人教版高中数学必修第一册章末综合测评(四)《指数函数与对数函数》(含答案详解).doc，共(7)页，100.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1章末综合测评(四)指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<12，则化简42a－12的结果是()A.2a－1B．－2a－1C.1－2aD．－1－2aC[∵a

<12，∴2a－1<0.于是，原式＝41－2a2＝1－2a.]2．计算：log225·log522＝()A．3B．4C．5D．6A[log225·log522＝lg25lg2·lg22lg5＝2lg5·lg232

lg2·lg5＝2×32＝3.]3．函数y＝x－1·ln(2－x)的定义域为()A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2]B[要使解析式有意义，则x－1≥0，2－x>0，解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．]4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是

()A．y＝x12B．y＝x4C．y＝x－2D．y＝x13B[对A，y＝x12的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝x13是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]5．函数f(x)＝

x12－12x的零点个数为()2A．0B．1C．2D．3B[令f(x)＝0，可得x12＝12x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x12和指数函数y＝12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．]6．若loga3＝m，lo

ga5＝n，则a2m＋n的值是()A．15B．75C．45D．225C[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]7．函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于

原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称D[易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]8．若log

a(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()A．(0,1)B.0，12C.12，1D．(0,1)∪(1，＋∞)C[由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a

<1，同时2a>1，∴a>12，综上，a∈12，1.]39．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝15log30.3，则()A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>bC[c＝5log3103，只需比较log23.4，log43.

6，log3103的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3103>1，所以a>c>b.]10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)＝f

(1)B．f(－4)>f(1)C．f(－4)<f(1)D．不能确定B[因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．

]11．已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x<2满足对任意的实数x1≠x2都有fx1－fx2x1－x2<0成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.－∞，138C．(－∞，2]D.138，2B

[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有a－2<0，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138，选B.]12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))

＝5，则f(lg(lg5))的值为()A．－3B．5C．－5D．－94A[lg(log510)＝lg1lg5＝－lg(lg5)，设t＝lg(lg5)，则f(lg(log510))＝f(－t)＝5.因为f(x)＝ax5－bx

＋1，所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，则f(t)＝at5－bt＋1，两式相加得f(t)＋5＝2，则f(t)＝2－5＝－3，即f(lg(lg5)的值为－3.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答

案填在题中横线上)13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．(1,4)[由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个

单位得到的，则P点坐标为(1,4)．]14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．14

[设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．]15．若f(x)＝a·2

x＋2a－12x＋1为R上的奇函数，则实数a的值为________．13[因为f(x)＝a·2x＋2a－12x＋1为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a·20＋2a－120＋1＝0，所以a＝13.]16．已

知125x＝12.5y＝1000，则y－xxy＝________.13[因为125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，y－xxy＝1x－1y＝log1000125－log100012.5＝log10001

2512.5＝log100010＝13.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或5演算步骤)17．(本小题满分10分)求值：(1)21412－(－9.6)0－338－23＋(1.5)－2；(2)log2512·log

45－log133－log24＋5log52.[解](1)21412－(－9.6)0－338－23＋(1.5)－2＝9412－1－278－23＋32－2＝32－1－32－2＋

232＝32－1－49＋49＝12.(2)log2512·log45－log133－log24＋5log52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)

过点(－2,9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．[解](1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝13，∴f(x)＝13x.(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)<f

(m＋3)．∵f(x)＝13x为减函数，∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2x，x＞0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一

个实根，求实数a的取值范围．[解]6如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．20．(本小题满分

12分)已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2x4·log2x2的最大值与最小值．[解]∵f(x)＝log2x4·log2x2＝(log2x－2)(log2x－1)＝log2x－322－14，又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴当

log2x＝32，即x＝232＝22时，f(x)有最小值－14.当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.即函数f(x)的最大值是2，最小值是－14.21．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案

：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万

元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？[解](1)由题意，得y＝0.1x，0<x≤15，1.5＋2log5x－，x>15.(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，

7又y＝5.5>1.5，∴x>15，∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.答：老张的销售利润是39万元．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg1－x1＋x.(1)求证：f(x)是奇函

数；(2)求证：f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy；(3)若fa＋b1＋ab＝1，fa－b1－ab＝2，求f(a)，f(b)的值．[解](1)证明：由函数f(x)＝lg1－x1＋x，可得1－x1＋x>0，即x－11＋x<0，解得－1<x<1，故函

数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg1－x1＋x＋lg1－y1＋y＝lg1－x1－y1＋

x1＋y，而fx＋y1＋xy＝lg1－x＋y1＋xy1＋x＋y1＋xy＝lg1＋xy－x－y1＋xy＋x＋y＝lg1－x1－y1＋x1＋y，∴f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy成立．(3)若f

a＋b1＋ab＝1，fa－b1－ab＝2，则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，解得f(a)＝32，f(b)＝－12.