【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业7《等比数列的概念及简单表示》(含解析).doc，共(5)页，88.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(七)等比数列的概念及简单表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是()A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列A[由题意得b

2＝ac(a，b，c>0)，∴log2b2＝log2ac，即2log2b＝log2a＋log2c，∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝

()A．53B．52C．53D．52A[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝5，把q＝5代入②得a2＝53，∴a1＝a2q＝53×5＝53.]3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋

2，3x＋3，那么－272是此数列的()A．第2项B．第4项C．第6项D．第8项B[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，∴首项为－4，公比为32.∴由－4×32n－1＝－1312，解得n＝4

.]4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2的值是()A．12B．－12C．12或－12D．14A[由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1.∵－

1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，∴a2－a1b2＝－1－2＝12.]5．已知各项均为正数的等比数

列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝()A．24B．36C．48D．54D[因为a1·a3＝36，且{}an为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以a1·a3＝36，a1＋a3＝20，由于{}an为

递增的等比数列，可得a1＝2，a3＝18，∴q2＝a3a1＝9.∵an＞0，∴q＝3.∴a4＝a1q3＝2×33＝54.故选D.]二、填空题6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则

该数列的通项an＝________.3×2n－3[由已知得a10a3＝a1q9a1q2＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]7．在9与243中间插入两个数

，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．27，81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.]8．设等比数列{}an满足a1＋

a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2„an的最大值为________．64[设等比数列的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得，a11＋q2＝10，a1q1＋q2＝5，解得a1＝8，q＝12.所以a1a2„a

n＝an1q1＋2＋„＋(n－1)＝8n×12nn－12＝2－12n2＋72n，于是当n＝3或4时，a1a2„an取得最大值26＝64.]三、解答题9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an

＋1，且a2·a5＝827.(1)求数列{an}的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？[解](1)因为2an＝3an＋1，所以an＋1an＝23，数列{an}是公比为23的等比数列，又a2·a5＝827，所以a21

235＝233，由于各项均为负，故a1＝－32，an＝－23n－2.(2)设an＝－1681，则－1681＝－23n－2，23n－2＝234，n＝6，所以－1681是该数

列的项，为第6项．10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由题意可得a2＝12，a3＝14.(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2a

n＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以an＋1an＝12.故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，因此an＝12n－1(n∈N*)．11．(多选题)有下列四个命题，正确的是()A．等比数列中的每一

项都不可以为0B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列AC[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数

列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正

确的说法有AC，故选AC.]12．(一题两空)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.23－1[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a23＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)

(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②由①②解得a1＝23，d＝－1.]13．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝

a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．－1＋52[已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝

(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝－1

＋52或x＝－1－52(舍去)．]14．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由．[解](1

)因为2an＋12an＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数且d≠0，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d

，a＞－2d，d≠0)．假设存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝da，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4－12＜t＜1，

t≠0，化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－14.显然t＝－14不是上面方程的解，与假设矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成

等比数列．