【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业19《导数在函数有关问题及实际生活中的应用》(含解析).doc，共(7)页，104.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(十九)导数在函数有关问题及实际生活中的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对B[设一个数为x，

则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8

时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．]2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32，16B．30，15C．40，20D．3

6，18A[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙总长L＝2x＋512x(x>0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为51216

＝32(米)，可使L最短．]3．函数y＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为()A[由题意，函数f(x)＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，满足f(－x)＝cos(－x)＋ln(|－x

|＋1)＝cosx＋ln(|x|＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，且f(0)＝cos0＋ln(|0|＋1)＝1，f(π)＝cosπ＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，又由当x∈(0，2π]时，f(x)＝cosx＋ln(x＋1)，则f′(

x)＝－sinx＋1x＋1，则f′π2＝－sinπ2＋1π2＋1＜0，f′(π)＝－sinπ＋1π＋1＞0，即f′π2·f′(π)＜0，所以函数在π2，π之间有一个极小值点，

故选A.]4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为()A．0B．1C．2D．取决于a的值C[f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋

a)＝ex·g(x)．因为函数f(x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f′(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2

x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x>40

0，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300D[由题意，得总成本函数为C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x>400.

所以P′(x)＝300－x，0≤x≤400，－100，x>400.令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]二、填空题6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为____

____．1[f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1，3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]7．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架

，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为________时容器的容积最大．1．2m[设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为

y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0，1.6)内，只有x＝1使y′＝0

.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2m．]8．若13x3＋12ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范

围为________．(3－6，＋∞)[令f(x)＝13x3＋12ax2＋1，则f′(x)＝x2＋ax.由f(x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)＞0(x1，x2是f(x)的极值点)．①由Δ≤0，得a

＝0；②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f(x1)·f(x2)＝－13a3＋12a3＋1＞0，即16a3＞－1，所以a＞3－6.综上，实数a的取值范围是(3－6，＋∞)．]三、解答题9．一艘轮船在航行中燃料费和它的

速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？[解]设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元

，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10，p＝6，所以k＝6103＝0.006.于是有p＝0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96

)元，而行驶1千米所用时间为1v小时，所以行驶1千米的总费用为q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v.q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8000)，令q′＝0，解得v

＝20.当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时，q取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．10．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2

∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[解]设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝18－12x4＝(4.5－3x)m0＜x＜32.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x

3)m30＜x＜32.从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜32时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)

的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m.故当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.11．(多选题)设x3＋ax＋b＝0

(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()A．a＝－3，b＝2B．a＝－3，b＝－3C．a＝－3，b＞2D．a＝1，b＝2BCD[记f(x)＝x3＋ax＋b，a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足

题意；a＝－3，b＝－3时，f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)是递增，在(－1，1)上递减，而f(x)极大值＝f(－1)＝－1＜0，f(x

)只有一个零点，即f(x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)是递增，在(－1，1)上递减，而f(x)极小值＝f(1)＝b－2＞0，f(x)只有一个零点，即f(

x)＝0只有一个实根；a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD.]12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，

－1)B[由a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝2a.①若a＞0，则f(x)在(－∞，0)上是增函数，在0，2a上是减函数，在2a，＋∞上是增函数．又因为f(0)＝1

＞0，所以f(x)在(－∞，0)上存在一个零点，与已知矛盾，a＞0舍去；②若a＜0，则f(x)在－∞，2a上是减函数，在2a，0上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又因为f(0)＝1＞0，所以f(x)

在(0，＋∞)存在一个零点x0，且x0＞0.f(x)存在唯一的零点x0，只需f2a＝1－4a2＞0，即a＞2或a＜－2.又a＜0，所以a＜－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.]13．海轮每小时

使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30nmile/h，当速度为10nmile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800nmile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为__

______．20nmile/h[由题意设燃料费y1与航速v间满足y1＝av3(0≤v≤30)，又∵25＝a·103，∴a＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为vnmile/h，总费用为y元，则y＝av3×800v＋800v×400＝20v2＋320000v.由y′

＝40v－320000v2＝0，得v＝20<30.当0<v<20时，y′<0；当20<v<30时y′>0，∴当v＝20时，y最小．]14．(一题两空)某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，

销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N＝8300－170M－M2，则该批材料零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．3023000[设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N(M－20)＝－M3－150

M2＋11700M－166000，则y′＝－3M2－300M＋11700，令y′＝0得M＝30或M＝－130(舍去)，当M∈(0，30)时，y′＞0，当M∈(30，＋∞)时，y′＜0，因此当M＝30时，y有最大值，ymax＝23000.]15．已知函数f(x)＝(x－1)

lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[解](1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－1x＋lnx－1＝lnx－1x.因为y＝lnx在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调递减

，所以f′(x)单调递增．又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln2－12＝ln4－12＞0，故存在唯一的x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(

x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α.由α>x0>1得1α＜1＜x0.

又f1α＝1α－1ln1α－1α－1＝fαα＝0，故1α是f(x)＝0在(0，x0)上的唯一实根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．