【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.1《空间向量及其运算》（解析版）.doc，共(8)页，513.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.1空间向量及其运算--提高练一、选择题1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：①若向量,ab共线，则向量,ab所在的直线平行；②若向量,ab所在的直线为异面直线，则向量,ab一定不共面；③若三个向量

,,abc两两共面，则向量,,abc共面；④已知空间的三个向量,,abc，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一

条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥PABC中，,,PAPBPC两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,abc需不共面，故

④错．综上，选A．2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是（）A．17226

3ABADAAB．151263ABADAAC．112263ABADAAD．111263ABADAA【答案】C【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM'23OBBC'12

()23DBADAA'12()()23ABADADAA112263ABADAA，故选：C3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AFFD，E为BC中点，则EF等于（）A．1223EFACABADB．112223E

FACABADC．112223EFACABADD．112223EFACABAD【答案】B【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AFFD，E为BC中点，所以EFEBBAAF

1223ABACABAD112223ACABAD，即112223EFACABAD.故选：B.4．己知1e，2e，3e是空向单位向量，且满足122312eeee，若向量1231bee，R.则3

e在b方向上的投影的最大值为（）A．22B．23C．32D．33【答案】D【解析】易得123,,eee是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图，构造棱长为1的正四面体OABC，使得123,,OAeOBeOCe，在射

线OA上取点D，使得133ODOAe设bOP，则1,bOPtODtOBtR，由三点共线知P在直线BD上.由定义知3e在b方向上的投影33cos,ebe=3cos,cos,beOPOC作点C在平面OAB上的射影G.由最小

角定理，当且仅当向量OP与向量OG同向时，,OPOC最小，cos,OPOC最大.即max3cos,cos,3OPOCOGOC.故选：D.5．（多选题）下列命题是真命题的是（）A．若||ab|=|，则,ab的长度

相等而方向相同或相反B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若两个非零向量AB与CD满足0ABCD，则ABCDD．若空间向量AB，CD满足ABCD，且AB与CD同向，则ABCD【答案】BC【解析】A.若

||||ab，则,ab的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C.若两个非零向量AB与CD满足0ABCD

，则ABCD=-，所以ABCD∥，所以该选项正确；D.若空间向量AB，CD满足||||ABCD，且AB与CD同向，AB与CD也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC6．（多选题）（2020福建莆田一中高二期

末）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．平面11DAP平面1AAPB．1APDCuuuruuuur不是定值C．三棱锥11BDPC的体

积为定值D．11DCDP【答案】ACD【解析】A.因为是正方体，所以11DA平面1AAP，11DA平面11DAP，所以平面11DAP平面1AAP，所以A正确；B.11111111()APDCAAAPDCAADCAPDC11112cos45c

os901212AADCAPDC，故11APDC，故B不正确；C.1111BDPCPBDCVV，11BDC的面积是定值，1//AB平面11BDC，点P在线段1AB上的动点，所以点P到平面11BDC的距离是定值，所以

1111BDPCPBDCVV是定值，故C正确；D.111DCAD，11DCAB，1111ADABA，所以1DC平面11ADP，1DP平面11ADP，所以11DCDP，故D正确.故选：ACD二、填空题7．

如图在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若记ABa，ADb，ACc，则AG______.【答案】111244abc【解析】在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，则AGABBG1

2ABBE11()22ABBCBD1()4ABACABADAB111442ABACADAB111244ABADAC.8．在正四面体ABCD中，M，N

分别为棱BC、AB的中点，设ABa，ACb，ADcuuurr，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】16.【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则11222DMDAAMcababc.,又11222CNANACabab.又

12abacbc.设异面直线DM与CN所成角为则2222cos3322abcabDMCNDMCN22111212222412=336aababbacbc.9．已知空间向量PA，PB，PC的模长分别

为1，2，3，且两两夹角均为60.点G为ABC的重心，若PGxPAyPBzPC，x，y，zR，则xyz__________；PG__________.【答案】1;53.【解析】取AC的中点D，22213332PGPBBGPBBDPBPDPBPBPAPCPB

111333PAPBPC，又PGxPAyPBzPC，空间向量PA，PB，PC的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60111===1333xyzxyz，，，，1x

yz222222211113333122231111123212232213322253PGPAPBPCPAPBPCPAPBPCPAPBPCPBPAPC10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥PABC的侧棱长为2

020，过其底面中心O作动平面交线段PC于点S，交,PAPB的延长线于,MN两点，则111PSPMPN的取值范围为__________【答案】32020【解析】设,,PMxPNyPSz.则PAPAPMx,PBPBPNy,PCPCPSz.由O为底

面ABC中心,2132POPAAOPAABAC133PAPBPCPAPBPAPCPA111333zPAPBPCPMPNPSxy333zPAPBPCPMPNPSxy又因为

,,,SMNO四点共面,所以+1333zPAPBPCxy且2020PAPBPC.所以202020202020+1333zxy，即1113+z2020xy即11132020PSPMPN.三、解答题11．试证：若坐标平面内的三点A，B，C共线，O为坐标原点，则存在三个均不为零

的实数l，m，n，使得0lOAmOBnOC，且0lmn，反之也成立.【答案】见解析【解析】证明：①若0lmn,,0lmn，则1mnll，∴1mnll.又0lOAmOBnOC，∴1mnnnnnOAO

BOCOBOCOBOBOCOBBCllllll，∴nOAOBBCl，∴nBABCl，∴A，B，C三点共线.②若A，B，C三点共线，则存在常数，使01BABC且，∴OAOBOCOB，∴10OA

OBOC，令1l，1m，n，则由0且1，知l，m，n，不为零，∴0lOAmOBnOC，且0lmn.12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥SABCD的底面是矩形，,2,1ABaADSA，且SA底面ABCD.（1

）求向量CS在向量SA上的投影；（2）若线段BC上存在异于,BC的一点P，使得PSPD，求a的最大值.【答案】（1）1；（2）1.【解析】（1）连接,ACSA平面,ABCDACÌ平面ABCD,S

ASC故向量CS在向量SA上的投影为：||cos()||cos||1CSASCCSASCSA（２）连接,APSA平面,ABCDDP平面ABCDSADP，又,PSPDSASPSDP平面SAP，又AP平面ADPAPPD设2BPmCPm2222,(

2)APamDPam2222(2)4amam222amm02m，当1m时，a的最大值为１．