【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.3.2《函数的极值与最大(小)值》（2）导学案 (含答案).doc，共(9)页，651.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）导学案1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想．重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数

极值的区别与联系1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0，那么f(x0)为极大值；如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右

侧f'(x)>0，那么f(x0)为极小值；2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中

最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)在定义域内，若函数有最值与

极值，则极大(小值就是最大(小)值．()(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．()一、新知探究我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质

。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数

y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=

g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？二、典例解

析例6:求在[0,3]的最大值与最小值.求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较

即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)

f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.例7:给定.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图像；（3）求出方程=()的解的个数.函数的图像直观地反映了函数的性质，通常可以按如下步骤画出函数的大致图像（

1）求出函数的定义域；（2）求导数及函数的零点；（3）用零点将的定义域为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，并得出单调性与极值；（4）确定图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出的大致图像.例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分,其(单位：cm)

中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?1．优化问题生活中经常遇

到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．利润最大；用料最省；效率最高2．解决优化问题的基本思路函数；导数跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中

心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．1．函数y＝lnxx的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．102．设函数f(x)＝x3－x22－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．3．已知a是实数，函数f

(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C

(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．求f(x)在[a

,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

参考答案：知识梳理1．解析：(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误

．(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√学习过程二、新知探究探究1：极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x

3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)问题1：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函

数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．二、典例解析例6:解：因为令0,解得：又因为f(0)=4,f(3)=1所以

,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-.跟踪训练1.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，

1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′

(x)＝0，得cos2x＝12，又∵x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±π3.∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.又fπ2＝－π2，f

－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.例7:解：（1）函数的定义域为因为令0,解得：、的变化情况如表所示所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。当时，有极小值=（2）令=0，解得：当

时，0;当时，0.所以的图像经过特殊点A(),B,C.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而当时，,根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。由（1）及图可得，当时

，有最小值所以，方程=的解得个数有如下结论；当<时，解为0个当或时，解为1个当<0时，解为2个例8.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是=所以令0,解得=2.当时，<0;当时，0.因此，当半径>2时，0,单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2时

，<0,单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。跟踪训练2．解：依题意，该帐篷的下部

的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为xm，帐篷的体积为V(x)m3，且1<x<4.由题设可得正六棱锥的底面边长为32－x－12＝8＋2x－x2(m)，故底面正六边形的面积为6×34(8＋2x－x2)2＝332(8＋2

x－x2)(m2)，故V(x)＝332(8＋2x－x2)·13x－1＋1＝32(16＋12x－x3)，则V′(x)＝32(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)为增函数；当2<x<4时

，V′(x)<0，V(x)为减函数．所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝163.综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m3.达标检测1．A[令y′＝1－lnx

x2＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]2．－∞，72[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－23.f(－1)＝11

2，f－23＝15727，f(1)＝72，f(2)＝7，∴m＜72.]3．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.①当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当2a

3≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0＜2a3＜2，即0＜a＜3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0＜a≤2，02＜a＜3.综上所述，f(x)max＝

8－4aa≤2，0a＞2.4.[解](1)由题设，隔热层厚度为xcm，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0≤

x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．