【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.3.1《函数的单调性》(2)导学案 (含答案).doc，共(8)页，447.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.3.1函数的单调性(2)导学案1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．2．探究函数增减的快慢与导数的关系．3.学会处理含参函数的单调性问题重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题1.函数f(

x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2

步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负3.函数图象的变化趋势与导

数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大__比较“____”(向上或向下)越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭;慢;平缓探究1.形如f(x)=ax3+bx2+c

x+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3.求函数的单调区间.如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数f

x的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2e－x.探究2：例4.设例5.设g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．利用导

数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数f′x；3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜

0，确定函数fx的单调区间.跟踪训练2．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．1．求函数f(x)＝exx－2的单调区间．2.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．1．判断或证明

函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分

类讨论函数的单调区间．(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究二、典例解析例3.解：函数的定义域为R，对f(x)求导，得令0,解得：，在各区间上

的正负，以及单调性如表所示。所以，f(x)在在上单调递增，在单调递减。如图所示如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？跟踪训练1[解](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝23x2－1x＝错误!，由x＞0，f′(

x)＞0，解得x＞33.由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜33.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为33，＋∞，单调递减区间为0，33.(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x

－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(0)＝0↗f(2)

＝4e2↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．探究2：分析分析例4.解：因为所以,,当x=1时，当0<x<1时,当x>1时，所以，f(x),g(x)在上都是增函数。在区间（

0,1）上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。例5.[思路探究]先对原函数求导得g′(x)＝－ax＋12x－1x(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．(1)当a＜－2时，

∵－1a＜12，∴g′(x)＝－ax＋1a2x－1x＞0等价于x＋1a(2x－1)＞0，易得函数g(x)在0，－1a和12，＋∞上单调递增，同理可得在－1a，12上单调递减；(2)当a＝－2时，g′(x)＝2x－12x≥0恒成立，∴函数g(x)在

(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a＜0时，∵－1a＞12，∴g′(x)＝－ax＋1a2x－1x＞0等价于x＋1a(2x－1)＞0，易得函数g(x)在0，12和－1a，＋∞上单调递增，同理可得在12，－1a上单调递减．跟踪训练2．[

解]函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－1x＝kx－1x.当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，得kx－1x＜0，解得0＜x＜

1k；由f′(x)＞0，得kx－1x＞0，解得x＞1k.∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为1k，＋∞.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为

1k，＋∞.达标检测1．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(

3，＋∞)；由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．2.[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a

≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.3．[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(

x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a

≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．