【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.2.3《简单复合函数的导数》（导学案） (含答案).doc，共(7)页，530.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.2.3简单复合函数的导数导学案1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y

＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．y＝f(g(x))思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u

＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于________________________________．y′u·u′x;y对u的导数

与u对x的导数的;乘积1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx．()(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝13x－1．()(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．()2．函数y＝

13x－12的导数是()A．63x－13B．63x－12C．－63x－13D．－63x－123．下列对函数的求导正确的是()A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝12x＋1ln2C．y＝cosx3，则y′＝13sinx3D

．y＝22x－1，则y′＝22xln2一、新知探究探究1.如何求若求的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2.如何求探究3：求函数三、典例解析例6.求下列函数的导数（1）（2）(3)1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(

2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝ln3xex.例7某个弹簧振子

在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式.求函数在时的导数，并解释它的实际意义。跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝cosx2sinx2－cosx2；(2)y＝x2＋tanx.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式

，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1

B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－12．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2x

C．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．5．求下列函数的导数：(1)y＝103x－2；(2)

y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x1＋x2.6.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③

计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法则可以推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．参考答案：知识梳理1．[提示](2)中f′(x)＝33x－1.(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案]

(1)√(2)×(3)×2．C[∵y＝13x－12，∴y′＝－2×13x－13×(3x－1)′＝－63x－13.]3．D[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝22x＋1ln2，∴B错误；C中，y′＝－13sinx3，∴C错误；D中y′＝22x－1ln2×(2x

－1)′＝22xln2.故D正确．]学习过程一、新知探究探究1.解析：方法一：=探究2.分析：函数初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点如果过程可表示为探究3：分析：令,得以表示对的导数，表示对的导数，一方

面，==22另一方面=，=2可以发现二、典例解析例6.解：（1）函数==3=（2）函数===（3）函数===跟踪训练1[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝

2e2x＋1.(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u

和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5uln2＝5x－1ln2.(4)∵(ln3x)′＝13x×(3x)′＝1x.∴y′＝ln3x′ex－ln3xex′ex2＝1x－ln3xex

＝1－xln3xxex.例7解：可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有===当=3时，它表示当=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s跟踪训练2[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解](1)∵y＝cosx2sinx2－cosx2＝cosx2sinx2－cos

2x2＝12sinx－12(1＋cosx)＝12(sinx－cosx)－12，∴y′＝12sinx－cosx－12′＝12(sinx－cosx)′＝12(cosx＋sinx)．(2)因为y＝x2＋sinxcosx，所以y′＝(x

2)′＋sinxcosx′＝2x＋cos2x－sinx－sinxcos2x＝2x＋1cos2x.达标检测1．[答案]A2．B[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xc

os2x－2x2sin2x.]3．32[f′(x)＝13x－1×(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝33×1－1＝32.]4．－1e2[∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－1e2.根据导数的几何意义知f(x)在

x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－1e2.]5．[解](1)令u＝3x－2，则y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴y′x＝y

′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝ex＋2xex＋x2.(3)y′＝(x1＋x2)′＝1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝错误!.6.解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x－1，

∴y′|x＝x0＝22x0－1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.