【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.2.2《导数的四则运算法则》（导学案） (含答案).doc，共(6)页，499.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.2.2导数的四则运算法则导学案1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．重点：导数的四则运算法则难点：运用导数的运算法则解决函数求导导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝_____________

_．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数fxgx′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′

(x);cf′(x);f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)一、学习导引在例2中，当=5时，这时，求关于的导数可以看成求函数一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？二、新知探究探究1：设计算与和有

什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？探究:2：设计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？三、典例解析例3.求下列函数的导数（1）（2）例4.求下列函数的导数（1）（2）求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导

数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx.跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sinx2cosx2例5日常生活中的饮用

水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90；（2）98例6(1)函数y＝3sin

x在x＝π3处的切线斜率为________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切

点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重

要的作用．1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．2C．－1D．02.已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.194B.1

74C.154D.1343.如图有一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝A．13B．－13C．73D．－13或534.求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xe

x－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝x2－sinx2cosx2.参考答案：知识梳理学习过程二、新知探究探究1：设，因为=====而=,=,所以=+同样地，对于上述函数，=探究:2：通过计算可知，=，=，同样地也不相等三、典例解析例3.解：（1）（2）例4

.解：（1）（2）跟踪训练1[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x

3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.跟踪训练2解析：（1）y＝tanx＝sinxcosx，故y′＝sinx′cosx－cosx′sinxcosx

2＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.（2）y＝2sinx2cosx2＝sinx，故y′＝cosx.例5解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；（1）因为所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.（2）因为所以进化到纯净度为90时

,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6(1)[解析]由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数在x＝π3处的切线斜率为3×cosπ3＝32.[答案]32(2)[解]①由题意，函数的定义域为

(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋1x，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋1x存在零点，即f′(x

)＝0，所以2ax＋1x＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．达标检测1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：

A2.解析：∵s′＝2t－3t2，∴s′|t＝2＝4－34＝134.答案：D3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y

轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得－a＋1－a－1>0，a＋1a－1＝0，解得a＝－1.故f(x)＝13x3－x

2＋1，所以f(－1)＝－13.答案：B4.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.(4)∵y＝x2－sinx2cosx2＝x2－12sinx，∴y′＝2x－12cosx.