【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册4.3.2《等比数列的前n项和公式》（1)导学案 (含答案).doc，共(10)页，1.154 MB，由MTyang资料小铺上传

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4.3.2等比数列的前n项和公式(1)导学案1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．2．会用错位相减法求数列的和．3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.重点：等比数列的前n项的运用难点：等比数列的前n项和公式的推

导1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．符号语言：2.等差与等比数列3.等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q≠1)

与项数n首项a1、末项an与公比q(q≠1)首项a1、公比q＝1求和公式Sn＝Sn＝Sn＝a11－qn1－q;a1－an1－q;na1一、新知探究国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“

请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意

了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.问题3：如何

求解该问题.回顾：等差数列的前项和公式的推导过程.等差数列,,的前项和是根据等差数列的定义=①②①+②得，).所以问题4：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？问题5：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.①问题

6：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？问题8：要求出，是否可以把上式两边同时除以(1？问题3的解决：“请在棋盘的第1个格

子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”二、典例解析例1.已知数列

na是等比数列.（1）若112a，12q，求8s；（2）若127a，91243a，0q，求8s；（3）若18a，12q，312nS，求n.例2已知等比数列的首项为1，前n项和为nS，若1053132SS

，求公比q.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用

．跟踪训练1.已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝38，记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝93，求n.例3已知等比数列{}na的公比1q，前n项和为nS.证明nS，2nnSS，32nnS

S成等比数列，并求这个数列的公比.1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝()A．8B．7C．6D．52．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝()A．－1B．1

C．－2D．23．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则S4S2＝()A．－5B．－3C．5D．34．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝()A．12B．－15C

．12或－15D．12或155．等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前n项和公式的推导：错

位相减法；（3）数学思想方法的应用:①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究问题1：是等比数列,首项是1，

公比是2，共64项.通项公式为问题2：求这个等比数列的前64项的和，即：=？问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列,,的前项和是根据等差数列的定义=①②①+②得，).所以问题4：在等比数列中，所以).对于等比数列求和，不能照搬倒序相加

的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题5：求和的根本目的是什么？思路：①问题6：问题7：①②设等比数列的首项为，公比为，则的前项和是根据等比数列的通项公式，①②①②得,=即(1=(1)问题8：(1=(1)当1时，即时，=当1时，即时，=问题3的解决：==一千颗麦粒的质量约为

40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！二、典例解析例1.解：（1）因为112a，12q，所以8811122255125612s.（2）由127a，91243a，可得8127243q，即8

81()3q.又由0q，得13q.所以881271()164031811()3S.（3）把18a，12q，312nS代入1(1)1-nnaqSq，得181()3121212n，整理，得11()232n

，解得5n.例2解：若1q，则10151S10312S532aa，所以1q.当1q时,由1053132SS得105(1)(1)311(1)(1)321qqqq，105131132qq.整理，得5311

32q，即5132q.所以12q.跟踪训练1.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2＝12，a8＝a1q7＝38，解得a1＝48，q＝12，所以an＝a1qn－1＝48×12n－1.(2)Sn＝a11－qn1－q

＝481－12n1－12＝961－12n.由Sn＝93，得961－12n＝93，解得n＝5.例3证明:(方法一)当1q时，1nSna，21112nnSSnanana，3211132nnSSnan

ana，所以nS，2nnSS，32nnSS成等比数列，公比为1.当1q时，1(1)1nnaqSq，21112(1)(1)(1)111nnnnnnnnaqaqaqqSSqSqqq，322111322(1)(1)(1)()111nnnnn

nnnnaqaqaqqSSqSSqqq，所以2322nnnnnnnnSSSSqSSS.因为nq为常数,所以nS，2nnSS，32nnSS成等比数列，公比为nq.(方法二)12n

nSaaa，212212()nnnnnnnSSaaaqaaa，2322122312()nnnnnnnSSaaaqaaa.所以2322nnnnnnnnSSSSqSSS.因为nq为

常数，所以nS，2nnSS，32nnSS成等比数列，公比为nq.结论：等比数列{}na的公比1q，前n项和为nS，则nS，2nnSS，32nnSS成等比数列，公比为nq.注：当=1q时，此结论不一定成立.例如，当(1)nna

时，此结论不成立.达标检测1．B解析：由Sn＝a11－qn1－q，a1＝1，q＝2.当Sn＝127时，则127＝1－2n1－2，解得n＝7.故选B.2．A解析：∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，∴a1＋2a2＋a3＝

a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.又a1≠0，∴q＝－1.故选A．3．C解析：由题意可得：S4S2＝a1[1－－24]1－－2a1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5，故选C．4．C解析：因为a1＝3，S3＝9，当q＝1时，满足

题意；故可得S4＝4a1＝12；当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝9，解得q＝－2，故S4＝a11－q41－q＝3×1－161＋2＝－15.综上所述S4＝12或－15.故选C．5．解：(1)由题意可得q2＝a3a1＝－2－

8＝14，所以q＝－12或q＝12.当q＝－12时，S4＝－81－－1241－－12＝－5；当q＝12时，S4＝－81－1241－12＝－15.综上所述，S4＝－15或S4＝－5.(2)S6＝a11－2

61－2＝315，解得a1＝5.