【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.2《等差数列》(含解析).doc，共(22)页，642.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4.2等差数列}{nSn1、等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.2、

等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.3、等差

数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数

列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列}{nSn也为等差数列.4、注意：（1）已知数列{

an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.（3）等差数列{an}的单调性：当

d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.（4）数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).5、判断等差数列的方法：知识梳理（1）定义法：证

明1nnaad(2)n，d为常数；（2）等差中项法：112(2)nnnaaan；（3）通项公式法：naAnB；（4）前n项和法：2nSAnBn．题型一等差数列的基本公式例1等差数列na中，321a，713a.（1）求na的通项公

式；（2）求14732naaaa.【答案】（1）272nan；（2）2283n.【分析】（1）设na的公差为d，列出关于1a和d方程组，解出后可得通项公式；（2）14732,,,,,naaaa仍然成等差数列，由等

差数列的前n项和公式计算．【详解】（1）设na的公差为d，则11221613adad，解得125a，2d，所以25(1)(2)272nann（2）由（1）知32272(32)316nan

n，知识典例∴214732[25(316)]2832nnnaaaan．已知等差数列na的前n项和为nS，且35a，424S（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前20项和20T.【答案】（1）211nan；

（2）250【分析】（1）由已知利用基本量求数列的通项；（2）需判断哪些项为非负，哪些为负，然后去绝对值转化为等差数列的和.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，则由条件得11254624adad解得192ad

，通项公式921nan，即211nan（2）令2110n，解112n，∴当5n时，0na；当6n时，0na∴201220Taaa1256720aaaaaa12512567202aaaaaaaaa

5202SS5420192592209222225200250题型二等差数列的性质例2等差数列na中，已知14739aaa，

36927aaa，求28aa（）A．11B．22C．33D．44【答案】B【分析】根据14739aaa，36927aaa，利用等差数列的性质求得4a和6a的值，然后由2846aaaa

求解.【详解】∵等差数列na中14739aaa，36927aaa，∴1474339aaaa，3696327aaaa，∴413a，69a，∴284622aaaa，故选：B.已知两个等差数列

na和nb的前n项和分别是nA和nB，且213nnAnnB，则99ab等于（）A．2B．74C．1912D．1321【答案】B【分析】由题意和等差数列的性质可得：917917aAbB，化简可得．【详解】由等差数列的性质可知，9

911717991171722171721734aaaaAbbbbB故选：B．题型三等差数列的前n项和及其判定例3已知数列na的前n项和为nS．（Ⅰ）若na为等差数列，求证：12n

nnaaS；（Ⅱ）若12nnnaaS，求证：na为等差数列．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据na为等差数列，利用倒序相加法证明12nnnaaS即可；（2）由前n项和公式有1nnnaS

S、11nnnaSS，相加后整理可得11nnnnaaaa，na为等差数列得证．【详解】（Ⅰ）证明：已知数列na为等差数列，设其公差为d，则有1123(1),nnnaandSaaaa，于是11112(1)nSaadad

and，①又2(1)nnnnnSaadadand，②①+②得：12nnSnaa，即12nnnaaS．（Ⅱ）证明：∵12nnnaaS，当2n时，111(1)2nnnaaS，∴1111(1)22nnn

nnnaanaaaSS，③11111(1)22nnnnnnaanaaaSS，④④-③并整理，得112nnnaaa，即11(2)nnnnaaaan≥，∴数列na是等差数列．（多选）已知数列na为等差数列，则下列

说法正确的是（）A．1nnaad（d为常数）B．数列na是等差数列C．数列1na是等差数列D．1na是na与2na的等差中项【答案】ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列na是等差

数列，所以1nnaad，即1nnaad，所以A正确；B.因为数列na是等差数列，所以1nnaad，那么11nnnnaaaad，所以数列na是等差数列，故B正确；C.1

11111nnnnnnnnaadaaaaaa，不是常数，所以数列1na不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知122nnnaaa，所以1na是na与2na

的等差中项，故D正确.故选：ABD题型四前n项和的性质例4一个等差数列na的前n项和为8，前2n项和为24，则前3n项和为（）A．40B．48C．56D．72【答案】B【分析】记等差数列na的前n项和为nS，根据等差数列前n项和的性质，得到nS，2nnSS，32n

nSS也成等差数列，由此列出方程，即可得出结果.【详解】记等差数列na的前n项和为nS，根据题中条件，得到8nS，224nS，由等差数列前n项和的性质，得到nS，2nnSS，32nnSS也成等差

数列，所以2322nnnnnSSSSS，即32248824nS，解得348nS.故选：B.设等差数列数列na的前n项和为nS，若22,17mmSS，则4mS（）A．32B．47C．54D．86【答案】

D【分析】由等差数列的性质可得：mS，2mmSS，32mmSS，43mmSS成等差数列．即可得出结果．【详解】解：由等差数列的性质可得：mS，2mmSS，32mmSS，43mmSS成等差数列，其首项

为2，公差为13,∴423243432413862mmmmmmmmSSSSSSSS，故选：D题型五性质应用例5（多选）已知无穷等差数列na的前n项和为nS，67SS，且78SS，则（）A．在数列na中，1a

最大B．在数列na中，3a或4a最大C．310SSD．当8n时，0na【答案】AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a，80a，即可求公差0d，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67SS，所以7670SSa，因为7

8SS，所以8780SSa，所以等差数列na公差870daa，所以na是递减数列，故1a最大，选项A正确；选项B不正确；10345678910770SSaaaaaaaa，所以310SS，故选项C不正确；当8n时，80naa

，即0na，故选项D正确；故选：AD（多选）设na是等差数列，nS是其前n项和，且56678,SSSSS，则下列结论正确的是（）A．0dB．70aC．95SSD．67nSSS与均为的最大值【答案】ABD【分析】由1nnnSSa2n，判

断6780,0,0aaa，再依次判断选项.【详解】因为5665600SSSSa，677670SSSSa，788780SSSSa，所以数列na是递减数列，故0d，AB正确；9

567897820SSaaaaaa，所以95SS，故C不正确；由以上可知数列na是单调递减数列，因为6780,0,0aaa可知，67nSSS与均为的最大值，故D正确.故选：ABD题型

六裂项相消法例6设nS是数列na的前n项和，0na，且42nnnSaa.（1）求数列na的通项公式；（2）设211nnnnabaa，12nnTbbb，求nT.【答案】（1）2nan，*nN；（2）21nnTnn.【分析】（1）运用数

列的递推式：1n时，11aS，2n…时，1nnnaSS，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）21111+1122121nnnnabaann，然后利用分组求和法可求出答案.【详解】（1）由0na，且4(2)nnnSaa，可得

1n时，111144(2)aSaa，可得12a，2n…时，1114(2)nnnSaa，又4(2)nnnSaa，相减可得114(2)(2)nnnnnaaaaa，即为11()(2)0nnnnaaaa，可得12nnaa，则数列{}na

为首项和公差均为2的等差数列，则2nan，*nN；（2）22411111+=1+112121212122121nnnnanbaannnnnn所以11111111111111+11+1+1+1232352572212

122121nnnnnnnnT设数列na满足11a，*14N4nnana.（1）求证：数列12na

是等差数列；（2）设221nnnaba，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）21nnTnn.【分析】（1）根据递推公式，得到1111222nnaa，即可证明数列是等差数

列；（2）先由（1）求出21nnan，即111122121nbnn，运用裂项求和法可求出数列的和.【详解】（1）证明：因为144nnaa，所以1421111114222242

24224nnnnnnnnnaaaaaaaaa，为常数.因为11a，所以1112a，所以数列12na是以-1为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）

知11111222nnna，所以22211nnann，所以2221441111211122121212121221212nnnnannbnannnnnnn

，所以123nnTbbbb1111111112335572121nnn111221nn21nnn，所以数列nb的前n项和21nnTnn

.1、设nS是等差数列na的前n项和，若67313462,12SS，则2019S（）A．22B．26C．30D．34【答案】C【分析】由等差数列中，连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知673134667320191346

,,SSSSS成等差数列，结合等差中项性质即可求2019S.【详解】由等差数列的前n项和性质知：673134667320191346,,SSSSS成等差数列，巩固提升∴由等差中项的性质：1346673673201913462()SS

SSS，又67313462,12SS，∴201913466733()30SSS，故选：C2、（多选）设na是等差数列，nS是其前n项的和，且56SS，678SSS，则下列结论正确的是（）A．0dB．70aC．95SSD．6S与7S均为nS的最大值

【答案】BD【分析】设等差数列na的公差为d，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列na的公差为d，依次分析选项：na是等差数列，若67SS，则7670SSa，故B正确；又

由56SS得6560SSa，则有760daa，故A错误；而C选项，95SS，即67890aaaa，可得7820aa，又由70a且0d，则80a，必有780aa，显然C选项是错误的.∵56SS，

678SSS，∴6S与7S均为nS的最大值，故D正确；故选：BD.3、（多选）设na是等差数列，公差为d，前项和为nS，若56SS，678SSS，则下列结论正确的是（）A．0dB．70aC．95SSD．170S【答案】ABD【分析】结合等差数列

的性质、前n项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67SS，可得7670SSa，故B正确；由56SS，可得6560SSa，由78SS，可得8780SSa，所以876aaa，故等差数列na是递减数列，即0d，故A正确；又9

567897820SSaaaaaa，所以95SS，故C不正确；又因为等差数列na是单调递减数列，且80a，所以90a，所以117179171702aaSa，故D正确.故选：ABD.4、已知等差数列{an}

满足a1=1，a2=2，则{an}的前5项和S5=__________.【答案】15【分析】由题意可得等差数列通项公式nan，结合1()2nnnaaS可得前n项和公式，进而求5S即可.【详解】由等差数列{a

n}满足a1=1，a2=2，知：公差1d，∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)naandn，∴由等差数列前n项和公式1()(1)22nnnaannS，即可得55(51)1

52S，故答案为：15.5、等差数列{}na的前n项和为nS，已知63a，则11S__.【答案】33.【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列{}na的前n项和为nS，63a，则11111611()11332aaSa，故答

案为：33.6、在等差数列{}na中，117a且4721aa，nS是数列{}na前n项的和，若nS取得最大值，则n________【答案】9【分析】求出公差，与通项公式na，由0na可得使nS取得最大值时的n值．【详解】设公差

为d，则4721aa得1732(176)1dd，解得2d，17(1)(2)192nann，由1920nan，192n，即9100,0aa，∴nS取得最大值时，9n．故答案为：9．7、

等差数列{}na中，25a，633a，则35aa________【答案】38【分析】直接根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为等差数列{}na中，25a，633a，所以352638aaaa，故答案为：38.8、

设等差数列na的前n项和为nS，1359aaa，则5S_______【答案】15【分析】由1359aaa可得339a，然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.【详解】因为1359aaa，所以339a，33a，所以15535()5152aaSa．故答案为

：15.9、等差数列na的公差不为零，其前n项和为nS，若743aa，则104Sa的值_____________.【答案】20【分析】由743aa，可得1163(3)adad，化为：132ad．0d．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出104Sa．【详解】解：7

43aa，1163(3)adad，化为：132ad．0d．则11041109105(39)2203332adSddaaddd，故答案为：20．10、已知数列na的前n项和为nS，若23nSnn，则na________【答案】1,12,2nnn

【分析】已知nS与n的关系式，利用11,1,2nnnSnaSSn即可求na的通项公式.【详解】由已知条件，知：当1n时，111aS；当2n时，2213[(1)(1)3]2nnnaSSnnnnn

；当n=1时不满足上式，∴1,12,2nnann，故答案为：1,12,2nnn.11、已知等差数列na的前n项和为nS，且856aa，9475SS，则nS取得最大值时n_______.【答案】14【分析】设等差数列na的公

差为d，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得n值.【详解】设等差数列na的公差为d，由已知条件可得11369843947522dddaa，解得1227da，故292nan，故

当114n时，0na；当15n时，0na，所以当14n时，nS取最大值.故答案为：1412、已知等差数列na中，5a，13a是方程2610xx的两根，则7891011aaaaa_______.【答案】15【分析】由韦达定理得5136aa，再根据等差数列的性

质得78910119515aaaaaa.【详解】解：根据题意，由韦达定理得：5136aa，根据等差数列角标和的性质得：513711810926aaaaaaa，所以78910119515aaaaaa.故答案为：15.13、已知等差数列na∣中

，nS是na的前n项和，若35109aa，则95SS的值是___________.【答案】2【分析】直接利用等差数列求和公式化简得到955395SaSa，代入数据计算得到答案.【详解】19955315199910221559

52aaSaSaaa.故答案为：2.15、设等差数列na的前n项的和为nS，且462S，675S，求：（1）求na的通项公式na；（2）求数列na的前n项和.【答案】（1）323nan；（2）433,072433154,82nnn

nnn.【分析】（1）根据条件列式方程组求首项和公差，再求通项公式；（2）由通项公式得到数列na的正负项的分界，再分情况讨论数列na的前n项和.【详解】设等差数列的首项和公差分

别为1a和d，11434622656752adad，1123312525adad，解得：1203ad，所以数列na的通项公式2013323na

nn；（2）323nan，所以2032334322nnnnnS当032308nann，当*07,nnN时，0na，此时，1212433......2nnnnaaaaaa当8n时，0n

a，此时127......naaaa1278......naaaaa77743321542nnnnSSSSS，综上可知数列na的前n项和为

433,072433154,82nnnnnn