【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.1《数列的概念》(含解析).doc，共(13)页，310.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

4.1数列的概念1、数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的

顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.（4）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．2、数列的分类(1)按照项数有限和无限分：有限数列：项数有限个；无限数

列：项数无限个；(2)按单调性来分：递增数列：an＋1>an，递减数列：an＋1<an，常数列：an＋1＝an＝C常数，摆动数列.3、数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．①并不是所有的

数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一（2）递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公

式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的知识梳理an4、常用结论汇总——规律多一点（1）若数列{an}的前n项和

为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.（2）在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.（3）型如：

1nnaafn的数列的递推公式，采用累加法求通项；（4）形如：1nnafna的数列的递推公式，采用累乘法求通项；题型一规律猜想例1数列23451,,,,,3579的一个通项公式na是（）A．21nnB．23nnC．23nnD．21nn【答案】D【分析】根据数列分子分母的规律求

得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21nnan.知识典例故选：D已知数列1,3,5,,21,n，则21是这个数列的（）A．第10项B．第11项C．第12项D．第2

1项【答案】B【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n，求得n=11，得到结果.【详解】令2121n，解得n=11，故21是这个数列的第11项.故选：B.题型二递推公式例2在数列{}na中，112a，111nnaa（2n，n+N）

，则2020a（）A．12B．1C．1D．2【答案】A【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.【详解】2111121aa，3211112aa，431111122aa，可得数列{}na是以3为周期的周期数列，20

2036731112aaa.故选：A.已知nS为数列na的前n项和，若112a，且122nnaa，则100S________.【答案】4256【分析】求得数列的周期，由此求得100S.【详解】由题意

2241322a，33a，42a，512a，∴数列na是周期数列，且周期为4.100123414425252532236Saaaa．故答案为：4256题型三累加法例3在数列na中，10a，11ln1nnaan

，则na的通项公式为（）．A．lnnanB．1ln1nannC．lnnannD．ln2nann【答案】A【分析】先将11ln1nnaan变形整理为11lnln1lnnnnaannn，

再分别用1n，2n，，2，1替换上式中的n，得到1n个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出na的通项公式.【详解】由已知得11lnln1lnnnnaannn，所以1lnln1nnaann12ln1ln2nnaann

32ln3ln2aa21ln2ln1aa将上述1n个式子相加，整理的1lnln1lnnaann又因为10a，所以lnnan．故选A．在数列{}na中，且11a，121nnaan，则{}na的通项公

式为__________．【答案】222nann【解析】在数列na中，11a，121nnaan，212111aa322213aa121123nnaann上式相加：112312nnaan22112

2nannn题型四累乘法例4已知正项数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，n∈N*，则它的通项公式为()A．an＝1n＋1B．an＝2n＋1C

．an＝n＋12D．an＝n【答案】B【解析】由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，得(n＋2)an＋1an2＋an＋1an－(n＋1)＝0，an＋1an＋1n＋2·an＋1an－n＋1＝0，因为{an}是

正项数列，所以an＋1an＋1>0，所以an＋1an＝n＋1n＋2，则an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·…·23×1＝2n＋1.故选B.若数列na满足112a，11nnnaan，则na______

.【答案】2n【分析】由已知得11nnanan，112a，由此利用累乘法能求出an．【详解】数列{an}满足11nnnaan，∴11nnanan∴11nnanan，2)n（，∴an＝122112311221......12312nnnnn

naaaannnaaaaannn2n2)n（，又1n时也满足；故答案为2n．题型五数列与函数例5已知数列na的通项公式为23nnan，则数列na中的最大项为（）A．89B．2

3C．6481D．125243【答案】A【分析】由12233nnnnaa，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：112222(1)3333nnnnnnaann

，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5

…an，所以数列na中的最大项为a2或a3，且2328239aa.故选：A.已知数列}{na的通项公式是1nnan，那么这个数列是A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案】A【详解】因为因为函数单调递增，所以数列na是递增数列．故选A．1、数列n

a满足12a，1111nnnaaa，则2019a（）A．3B．12C．13D．2【答案】B【分析】由递推关系，可求出na的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a即可.巩固提升【详解】由1111nnnaaa，可得111nnnaaa

，由12a，可得23a，312a，413a，52a，由15aa，可知数列na是周期数列，周期为4，所以2019312aa.故选：B.2、在数列中，，则＝（）A．B．C．D．【答案】

A【详解】试题分析：由题意得，，所以1213212(ln2ln1)(ln3ln2)...(lnln(1))nnnaaaaaaLaann．3、在数列na中，

已知2*11nannnN，则na______.【答案】2*332,nnnnN【分析】令*12,tnttN，根据换元法求通项，即可得出结果.【详解】令*12,tnttN，则1nt，所以221

1133tatttt，所以2*332,nannnnN，当1n时，上式11a也成立，所以2*33nannnN.故答案为：2*33nnnN.4、已知数列na满足:*434121,0,,N

nnnnaaaan,则2014a___________.【答案】0【分析】先由条件2nnaa得20141007aa，然后1007425210aa【详解】因为*2,Nnnaan所以20141007aa因为100742521，且410na所以100

70a，即20140a故答案为：05、数列250lg12，250lg23，，250lg1nn，中，开始出现负值的项是第______项.【答案】16【分析】根据数列特点得到数列的通项公式na，再解不等式0na，求出n的值.【

详解】因为数列250lg12，250lg23，，250lg1nn，，所以250lg1nann，当250lg01nann时，即25011nn，解得：16n且nN，所以数列开始出现负值的项是第16.故答案为16.6、在数列{}na中，已知

122aa．若2na是1nnaa的个位数字，则27a______．【答案】4【分析】写出前几项可发现数列是一个周期为6的数列，利用周期性计算即可.【详解】由题意，122aa，且2na是1nnaa的个位数字，312

4567894,8,2,6,2,2,4aaaaaaaaa，∴根据以上的规律看出该数列是一个周期为6的数列，2764334aaa.故答案为4.