【文档说明】人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.4.2《超几何分布》(含解析).doc，共(12)页，166.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-37598.html

以下为本文档部分文字说明：

7.4.2超几何分布课标要求素养要求1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出1

6名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．问题X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？提示X的可能取值为0，1，2，

3，其中P(X＝2)＝C24C116C320，X的概率分布符合超几何分布，这就是这节课我们要重点研究的问题．1．超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)

＝CkMCn－kN－MCnN，k＝m，m＋1，m＋2，„，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X

服从超几何分布．2．超几何分布的期望E(X)＝nMN＝np(p为N件产品的次品率)．拓展深化[微判断]1．超几何分布的总体里只有两类物品．(√)2．超几何分布的模型是不放回抽样．(√)3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.(√)[微训练]1．设袋中有80

个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C480C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100解析取出的红

球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为C680C420C10100.答案D2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的

概率表达式为______．解析由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为C25C195C3100.答案C25C195C3100[微思考]超几何分布模型在形式上有怎样的特点？提示在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．

题型一利用超几何分布的公式求概率【例1】在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中

N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C310C5－320C510＋20＋C410C5－420C510＋20＋C510C5－520C510＋2

0＝120×190＋210×20＋252C530＝27252142506≈0.19.规律方法超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.【训练1】某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选

的概率为()A.815B.715C.415D.115解析由题意可得所求概率为C17C13C210＋C07C23C210＝815.答案A题型二超几何分布的分布列【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩

论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)

某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C

34C36C36＝1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P

(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为X123P153515规律方法解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可

以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．【训练2】从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数X的分布列．解(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C35C39＝542，P(X＝1)＝C25C14C39＝1021，P(X＝2)＝C

15C24C39＝514，P(X＝3)＝C34C39＝121.∴X的分布列为X0123P5421021514121题型三超几何分布的综合应用【例3】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中

，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同

学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13C27＋C03C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为49

60.(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4C3－k6C310(k＝0，1，2，3)．所以随机变量X的分布列是X0123P1612310130所以随机变量X的期望值为E(X)＝0×16＋

1×12＋2×310＋3×130＝1.2(或E(X)＝3×410＝1.2)．规律方法超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝nMN.【训练3】一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中

有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的期望E(X)．解∵从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35，∴3n＝35

，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．白球的个数X可取0，1，2.P(X＝0)＝C33C35＝110，P(X＝1)＝C23C12C35＝35，P(X＝2)＝C13C22C35＝310，∴E(X)＝110×0＋35×1

＋310×2＝65.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养．2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝CkMCn－kN－

MCnN求出X取不同k值时的概率．3．超几何分布模型是一种不放回抽样．二、素养训练1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为()A.C35C350B.C15＋C2

5＋C35C350C．1－C345C350D.C15C25＋C25C145C350解析出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C345C350，故答案为1－C345C350.答案C2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选1

0个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析X服从超几何分布，∴P(X＝4)＝C4

7C68C1015.答案C3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．解析设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案454．从

含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．解析设所取出的3个球中红球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X＝1)＝C15C23C38＝1556.答案15565．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球1

0个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．解设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.P(X＝2)＝C28C2

10＝2845，P(X＝6)＝C18C12C210＝1645，P(X＝10)＝C22C210＝145.故X的分布列为X2610P28451645145基础达标一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.C34C248C552

B.C348C24C552C．1－C148C44C552D.C34C248＋C44C148C552解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C34C248C552＋C44C148C552.答案D2．在100

张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.150B.125C.1825D.14950解析记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝C24C096C2100＝1825.答案C3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，

则其中至多3个红球的概率为()A.C38C14C412B.C18C34＋C28C24C412C．1－C44C412D．1－C48C412解析从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－

C48C412.答案D4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1)D．P(X＝2)解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到

1个白球或没有取到白球的概率．答案B5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的解析令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝Ck7C4－k3C410

(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝130，P(X＝2)＝310，P(X＝3)＝12，P(X＝4)＝16，故选C.答案C二、填空题6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年

龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________．解析易知P(X＝1)＝C15C115C220＝1538.答案15387．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为__________(用式子表示)．解析二级品不多于1台，即

一级品有3台或4台，故所求概率为C13C397＋C497C4100.答案C13C397＋C497C41008．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的

概率P(X≥8)＝__________．解析由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－C15C34C49－C44C49＝56.答案56三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才

能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；(2)他能及格的概率．解(1)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)

＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为X0123P1303101216(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.10．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这

三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研．(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值．解(1)共50名学生代表，抽取2名的

样本点总数为C250＝1225.记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为C110C115＋C110C125＋C115C125＝775.根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝7751225＝3149.(2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽

到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C010C215C225＝720，P(X＝1)＝C110C115C225＝12，P(X＝2)＝C210C015C225＝320.所以X的分布列为X012P72012320所以X的期望值E(X)＝0×720＋1

×12＋2×320＝0.8.能力提升11．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝____

______．解析设10个球中有白球m个，则C210－mC210＝1－79，解得m＝5或m＝14(舍去)．所以P(X＝2)＝C25C15C310＝512.答案51212．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；

其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望．解(1)P＝1－C26C210＝1－1545＝23，即该顾客中奖的概率为23.(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，6

0，且P(X＝0)＝C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.故X的概率分布列为：X010205060P1325115215115期望

值为E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16(元)．创新猜想13．(多选题)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优

秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是超几何分布．答案ACD14．(多选题)10名同学

中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a的值为()A．2B．4C．6D．8解析根据题意，得1645＝C110－aC1aC210，解得a＝2或a＝8.答案AD