【文档说明】人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.4.1《二项分布》(含解析).doc，共(14)页，175.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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7.4二项分布与超几何分布7．4.1二项分布课标要求素养要求1.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.2.能用二项分布解决简单的实际问题.通过学习二项分布的概念及研究其数字特征，提升数学抽象及数据分析素养.新知探

究“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是在中国民间流传很广的一句谚语，这句谚语是非常有道理的，下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题：假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团，假定对某事进行决策时，每名谋士决策正确的概率为0.7，诸葛亮决策正确的概率为0.85，现在要为某事能否可行征求

每位谋士的意见，并按照多数人的意见作出决策，试比较诸葛亮和智囊团决策正确概率的大小．问题上述情境中的问题，假如让你猜想的话，你能得到正确的答案吗？提示智囊团决策正确的概率要大于诸葛亮决策正确的概率，具体怎么计算的通过学习本节课的内容即可解决．1．n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努

利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立．3．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<

p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，„，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D

(X)＝np(1－p)．拓展深化[微判断]1．在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．(√)2．在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同．(×)提示在n重伯努利试验中，各次试验中某

事件发生的概率均相同．3．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，„，n.(√)[微训练]1．已知X～B6，13，则P(X＝4)＝_________

_．解析P(X＝4)＝C461341－132＝20243.答案202432．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是__________．解析设出现正面向上的次数为X，则X～B5，12，故P(X＝3)＝C351231－12

2＝516.答案5163．某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为__________．解析设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)．故P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C230.62(1－0.6)＋C3

30.63＝0.648.答案0.648[微思考]1．你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？提示两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般

形式．2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i＋1次试验的结果不受前i次结果的影响(其中i＝1，2，„，n－1).题型一n重伯努利试验的判断【例1】

判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利

试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．规律方法n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同

的条件下可以重复进行．(2)每次试验的结果相互独立，互不影响．【训练1】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”

与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是n重伯努利试验的是()A．①B．②C．③D．④解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验．答案D题型二n重伯努利试验概

率的求法【例2】某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次伯努利试验．“恰有2次准确”的概率为P＝C25

×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.00672.所以所求

概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.规律方法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用n重伯努利试验的概率

公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．【训练2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中

目标的概率都为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三

、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝35×1－35×35×1－35×35＝1083125.

(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为P＝C35×353×1－352＝216625.(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可

得共有C13种情况．故所求概率为P＝C13×353×1－352＝3243125.题型三二项分布的均值与方差【例3】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率

为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差D（X）为62.(1)求n和p的值，并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解由题意知，X～B(n，p

)，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，„，n.(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.X的分布列为X0123456P164332

15645161564332164(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝164＋332＋1564＋516＝2132，或P(A)＝1－P(X>3)＝1－1564＋332＋164＝2132，所以需要补种沙柳的概率为2132.

规律方法解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【训练3】某厂一批产品的合格率是9

8%.(1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)求从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．解(1)用Y表示抽得的正品数，则Y＝0，1.Y服从两点分布，且P(Y＝0)＝0.0

2，P(Y＝1)＝0.98，所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差为D（X）≈0.44.一、素

养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．n重伯努利试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

．3．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，„，n)，此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．

二、素养训练1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率都为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.12125B.48125C.16125D.96125解析播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C23452×1－45＝48125.答案B2．某电子管正品率为34

，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于()A．C23142×34B．C23342×14C.142×34D.342×14解析P(X＝3)＝142×34.答案C3．同时抛掷两枚

质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于()A.158B.154C.52D．5解析抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝12×12＝14，则易知X～B10，14，故D(X)＝10×14

×1－14＝158.答案A4．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝3536，则p＝__________．解析因为X～B(2，p)，所以P(X＝k)＝Ck2pk(1－p)2－k，k＝0，1，2.所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－C02p0(1－p)2＝1－(1－

p)2＝3536，结合0<p<1，解得p＝56.答案565．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分，求随机变量X的分布列．解由题意知

，X～B3，23，故P(X＝0)＝C03×1－233＝127，P(X＝1)＝C13×23×1－232＝29，P(X＝2)＝C23×232×1－23＝49，P(X＝

3)＝C33×233＝827，所以X的分布列为X0123P1272949827基础达标一、选择题1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是()A.516B.25C.58D.132解析P＝C25×12

3×122＝516.答案A2．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)＝()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.28解析P(X＝8)＝C8

10×0.88×0.22.答案A3．设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)等于()A.516B.316C.58D.38解析∵X～B6，12，∴P(X＝3)＝C36×123×1－123＝516.答案A4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝

Ckn23k·13n－k，k＝0，1，2，„，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为()A.29B．8C．12D．16解析由题意可知X～Bn，23，所以23n＝E(X)＝24.所以n＝36.所以D(X)＝n·23×1－23＝36×23×13＝8.答案

B5．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是13，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为()A.6B．3C.3D．2解析因为该同学经过每个路口时

，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B3，13，则X的方差D(X)＝3×13×1－13＝23，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×23＝6，所以Y的标准差为D（Y）＝6.答案A二、填空题6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服

用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．解析至少3人被治愈的概率为C34×0.93×0.1＋0.94＝0.9477.答案0.94777．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B

(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)

2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则D(Y)＝__________．解析由随机变量X～B(2，p)，且P(X≥1)＝59，得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02

×(1－p)2＝59，易得p＝13.由Y～B4，13，得随机变量Y的方差D(Y)＝4×13×1－13＝89.答案89三、解答题9．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)，求一天内至少3人同时上网的概率．解记Ar(r＝0

，1，2，„，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝Cr60.5r(1－0.5)6－r＝Cr60.56＝164Cr6.“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人

同时上网”的概率为P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝164(C36＋C46＋C56＋C66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132.10．两个人射击，甲射击一次中靶概率是12，乙射击一次中靶概率是13.(1)两

人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？(3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%?

解(1)共三种情况：乙中靶甲不中靶，概率为13×12＝16；甲中靶乙不中靶，概率为12×23＝13；甲、乙全中靶，概率为12×13＝16.故所求概率是16＋13＋16＝23.(2)共两类情况：共中靶3次，概率为C22122120×C12131

231＋C12121121×C22132230＝16；共中靶4次，概率为C22122120×C22132230＝136，故所求概率为16＋136

＝736.(3)两人总共中靶至少1次的概率为1－C05125×C05235＝1－1243＝242243＞0.99.所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.能力提升11．若随机变量X～B5，13，则P(X＝k)最大时，k的值为()A．1或2

B．2或3C．3或4D．5解析依题意P(X＝k)＝Ck5×13k×235－k，k＝0，1，2，3，4，5.可以求得P(X＝0)＝32243，P(X＝1)＝80243，P(X＝2)＝80243，P(X＝3)＝40243，P(X＝4)＝10243，P(X＝5

)＝1243.故当k＝1或2时P(X＝k)最大．答案A12．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未

来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于

100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.1

5×2＝0.108.(2)由题意知X～B(3，0.6)，故P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.

63＝0.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.创新猜想13．(多选题)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3

次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是()A．他三次都击中目标的概率是0.93B．他第三次击中目标的概率是0.9C．他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1D．他恰好2次未击

中目标的概率是3×0.9×0.12解析A正确；由每次射击，击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为C23×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击中目标，

即恰好击中目标1次，概率为C13×0.9×0.12，D正确．答案ABD14．(多空题)设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n＝____，p＝______．解析由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1

.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.答案60.4