【文档说明】人教版高中数学选择性必修第三册学案：6.3.1《二项式定理》(含解析).doc，共(13)页，195.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6．3二项式定理6．3.1二项式定理课标要求素养要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.新知探究牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位

姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．问题什么是二项式定理？提示(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋„＋Cknan

－kbk＋„＋Cnnbn即为二项式定理．二项式定理及其相关概念注意二项式系数与系数的概念二项式定理公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋„＋Cknan－kbk＋„＋Cnnbn，称为二项式定理二项式系数Ckn(k＝0，1，„，n)通项Tk＋1＝Cknan－kbk二项式定理(1＋x)n＝C

0n＋C1nx＋C2nx2＋„＋Cknxk＋„＋Cnnxn的特例拓展深化[微判断]1．(a＋b)n的展开式中共有n项．(×)提示(a＋b)n的展开式中共有n＋1项．2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(×)提示交换a，b的顺序各项都发生变化.3.Cknan－kbk是(a＋

b)n展开式中的第k项．(×)提示Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(√)[微训练]1.x－1x5的展开式中含x3项的二项式

系数为()A．－10B．10C．－5D．5解析x－1x5展开式的通项为Tk＋1＝Ck5x5－k－1xk＝(－1)kCk5x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3项的二项式

系数为C15＝5.答案D2.x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析x2－2x35展开式的通项为Tk＋1＝Ck5(x2)5－k－2x3k＝(－2)kCk5x10－5k

，令10－5k＝0，得k＝2，∴常数项为(－2)2C25＝40.答案C3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________．解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.答案x3[微思考

]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是指C0n，C1n，„，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有

关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？提示不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cknan－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cknbn－kak.题型一二项式定理的正用、逆用【例1】(1)求3x＋1x4的展开式．(

2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－„＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋„＋(－1)nCnn.解(1)法一3x＋1x4＝(3x)4＋C14(3x)3

·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34(3x)·1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二3x＋1x4＝3x＋1x4＝1x2(1＋3x)4＝1x2·[]1＋C1

4·3x＋C24（3x）2＋C34（3x）3＋C44（3x）4＝1x2(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝1x2＋12x＋54＋108x＋81x2.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋„＋Ckn

(x＋1)n－k(－1)k＋„＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.【迁移】(变条件，变设问)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝__________．解析∵(1＋3)4＝1＋C14×(3)1＋C24×(3)2＋C34×(

3)3＋C44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.答案44规律方法(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②

字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．【训练1】化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)

2＋5(2x＋1)－1.解原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－C55(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.题型二二项展开式通项的应用【例2】(1)求二项式

2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求x－1x9的展开式中x3的系数．解(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(2x)6－k·－1xk＝26－kCk6·(－1)k

·x3－3k2，∴T6＝26－5C56·(－1)5·x3－32×5＝－12x－92.∴第6项的二项式系数为C56＝6，第6项的系数为－12.(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则Tk＋1＝Ck9x9－k·－1xk＝(－1)k·Ck9·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即

展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.【迁移1】(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”．解由通项Tk＋1＝(－1)k·Ck6·26－k·x3－32k，知第4项的二项式系数为C36＝20，第4项的系数为(－1)3·

C36·23＝－160.【迁移2】(变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？解设展开式中第k＋1项为含x5的项，则Tk＋1＝(－1)k·Ck9·x9－2k，令9－2k＝5，得k＝2

，即展开式中的第3项含x5，且系数为(－1)2·C29＝36.规律方法(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，Tk＝Ck－1nan－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的

特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式

项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【训练2】已知二项式3x－23x10.(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项．解3x－

23x10的展开式的通项是Tk＋1＝Ck10(3x)10－k－23xk＝Ck10310－k－23k·x10－3k2(k＝0，1，2，„，10)．(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C310＝120.(2)展开式的第4项的系数为C31037

－233＝－77760.(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77760x.题型三与展开式中的特定项有关的问题角度1求展开式中的特定项【例3】x2－12x6的展开式中，常数项是()A．－54B.54C．－1516D.1516解

析x2－12x6展开式的通项Tk＋1＝Ck6(x2)6－k－12xk＝－12kCk6x12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4.所以常数项为－124C4

6＝1516.答案D角度2由二项展开式某项的系数求参数问题【例4】若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2解析x＋1x10的展开式的通项是Tk＋1＝Ck10·x10－k·

1xk＝Ck10·x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)、x6(当k＝2时)项的系数分别为C310，C210.因为(x2－a)x＋1x10的展开式中含x6的项由x2与

x＋1x10展开式中含x4的项的乘积以及－a与x＋1x10展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.答案D规律方法求展开式中特定项的方法求展开式中

特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．【训练3】(1)若

x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝__________．(2)已知n为等差数列－4，－2，0，„的第六项，则x＋2xn的二项展开式的常数项是__________．解析(1)展开式的通

项为Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数为C39(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kC

k6x6－2k，令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为23C36＝160.答案(1)1(2)160一、素养落地1．通过本节的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．注意区分项的二项式系数与系数的概念．要牢记Cknan－kbk是

展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．3．求解特定项时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．二、素养训练1．1－2C1n＋4C2n－8C3n＋„＋(－2)nCnn等于()A．1B．－1C

．(－1)nD．3n解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.答案C2．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b等于()A．33B．29C．23D．19解析∵(1＋2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋

122＝a＋b2，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.答案B3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A．－5B．5C．－10D．10解析(1－x)5中x3的系数－C35＝－10，－(1

－x)6中x3的系数为－C36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.答案D4．二项式2x＋1x26的展开式中，常数项是__________．解析二项式

2x＋1x26的第k＋1项为Tk＋1＝Ck6(2x)6－k·1x2k＝Ck6·26－k·x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C26·24＝240.答案2405.x2－1x8的展开式中x7的系数为____

______(用数字作答)．解析二项展开式的通项Tk＋1＝Ck8(x2)8－k－1xk＝(－1)kCk8x16－3k，令16－3k＝7，得k＝3，故x7的系数为－C38＝－56.答案－56基础达标一、选择题1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A

．9B．10C．11D．8解析∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.答案C2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为()A．－210B．210C．－120iD．－210i解析由通项得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210.

答案A3.x－2x6展开式中的常数项为()A．60B．－60C．250D．－250解析x－2x6展开式的通项为Ck6(x)6－k－2xk＝(－2)kCk6x3－32k.令3－32k＝0，得k＝2.∴x－2x6展开式中的常数项为(－2)

2·C26＝60.答案A4.x＋1x9展开式中的第4项是()A．56x3B．84x3C．56x4D．84x4解析由通项公式有T4＝C39x61x3＝84x3.答案B5．(2x＋x)4的展开式中x3的系数是()A．6B．12C．24D．48解析(2x＋x)4展开式的通项

为Tk＋1＝Ck4(2x)4－k(x)k＝24－kCk4x4－k2.令4－k2＝3，解得k＝2，故展开式中x3的系数是4·C24＝24.答案C二、填空题6．若(x＋a)10的展开式中x7的系数为15，则a＝________．解析二项展开式的通项为Tk＋

1＝Ck10x10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝C310a3x7，则C310a3＝15，故a＝12.答案127．若ax＋1x2x＋1x5展开式中的常数项为－40，则a＝__________．解

析2x＋1x5展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck5(2x)5－k·1xk＝Ck525－kx5－2k.因为ax＋1x2x＋1x5的展开式中的常数项为－40，所以axC3522x－1＋1

xC2523x＝－40，所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.答案－38.x－4＋4x6(x＞0)的展开式中的常数项为__________．解析x－4＋4x6(x＞0)可化为x－2x12，因而Tk＋1＝Ck1

2·()x12－k·－2xk＝(－2)kCk12·x6－k.令6－k＝0，得k＝6，故展开式中的常数项为()－26·C612＝59136.答案59136三、解答题9．若二项式x－

ax6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．解∵Tk＋1＝Ck6x6－k－axk＝(－a)kCk6x6－3k2，令6－3k2＝3，则k＝2，得A＝C26·a2＝15a2；令6－3k2＝0，

则k＝4，得B＝C46·a4＝15a4.由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.10．已知(x＋3x)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n的值；(2)写出它展开式中的所有有理

项．解(1)(x＋3x)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C8n，C9n，C10n.依题意得n！8！（n－8）！＋n！10！（n－10）！＝2·n！9！（n－9）！，化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解

得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14.(2)展开式的通项Tk＋1＝Ck14x14－k2·xk3＝Ck14·x42－k6，展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0≤k≤14，所以展开式中的有理项共3项，分别是：k＝0，T1＝C014x7＝x7；k＝6，T7＝C614x6＝30

03x6；k＝12，T13＝C1214x5＝91x5.能力提升11．若(x＋1)n＝xn＋„＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝__________．解析a＝Cn－3n，b＝Cn－2n.∵a∶b＝3∶1，∴Cn－3nCn－2n＝C3

nC2n＝31，即n（n－1）（n－2）×26n（n－1）＝3，解得n＝11.答案1112．已知在12x2－1xn的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解

已知二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckn12x2n－k·－1xk＝(－1)k12n－kCknx2n－52k.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－52k＝0，解得n＝10.(2)令2×10－52

k＝5，得k＝25(20－5)＝6.所以x5的系数为(－1)6124C610＝1058.(3)要使2n－52k，即40－5k2为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，„，9，10，故符合要

求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．创新猜想13．(多选题)对于二项式(1x＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的是()A．存在n∈N*，使展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．

对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，使展开式中有x的一次项解析二项式1x＋x3n的展开式的通项为Tk＋1＝Cknx4k－n，可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式

中分别存在常数项和x的一次项．答案AD14．(多空题)在二项式x12＋12x14n的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则n＝________，此时二项式展开式中有理项的项数为______．解析二项展开式的前三项的系数分别为1，C1n

·12，C2n·122，由其成等差数列，可得2C1n·12＝1＋C2n·122，即n＝1＋n（n－1）8，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的通项Tk＋1＝Ck812kx4

－3k4.若为有理项，则有4－3k4∈Z，又0≤k≤8，k∈N，所以k可取0，4，8，所以展开式中有理项的项数为3.答案83