【文档说明】人教版高中数学选择性必修第三册学案：6.2.2《排列数》(含解析).doc，共(13)页，141.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.2排列数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.新知探究在上海

交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？问题上述情景中的问题能否用一个公式来表示？提示上述问题情景中的问题可以用公式

A2929来表示．1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.2．排列数公式注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是

n，最小的因数是n－m＋1Amn＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！.3．全排列将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：Ann＝n!，另外规定，

0！＝1.拓展深化[微判断]1．排列与排列数的含义相同．(×)提示“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，

即所有排列的个数，它是一个数．2．从4个不同元素中任取3个元素的排列数为A34＝24.(√)[微训练]1．A39等于()A．9×3B．93C．9×8×7D．9×8×7×6×5×4×3答案C2．若Am10

＝10×9ׄ×5，则m＝__________．答案6[微思考]1．排列数Amn公式的特点是什么？提示第一个因数是n，后面一个因数比它前面的一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因数相乘．2．从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？提示4×3×2＝24(个).题型一

排列数公式及应用【例1】(1)用排列数表示(55－n)(56－n)„(69－n)(n∈N*且，n<55)；(2)计算2A58＋7A48A88－A59.(3)证明Amn＋1－Amn＝mAm－1n.(1)解因为55－n，

56－n，„，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，所以(55－n)(56－n)„(69－n)＝A1569－n.(2)解2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5

＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(3)证明法一因为Amn＋1－Amn＝（n＋1）！（n＋1－m）！－n！（n－m）！＝n！（n－m）！·n＋1n＋1－m－1＝n！（n－m）！·mn＋1－m＝m·n！（n＋1－m）！＝mAm－1n，所以Amn＋1－

Amn＝mAm－1n.法二Amn＋1表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Amn个．含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Am－1n种排法．故Amn＋1＝mAm－1

n＋Amn，所以mAm－1n＝Amn＋1－Amn.规律方法排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的

论证时，一般用阶乘式．【训练1】不等式Ax8<6Ax－28的解集为()A．[2，8]B．[2，6]C．(7，12)D．{8}解析由Ax8<6Ax－28，得8！（8－x）！<6×8！（10－x）！，化简得x2－19x＋84<0，解得

7<x<12，①又x≤8，x－2≥0，所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.答案D题型二排队问题【例2】三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2

)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A66种不同的

排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要

保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A36种排法，因此共有A55·A36＝14400(种)不同的排法．(3)法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能

挑选五个男生中的两个，有A25种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A66种不同的排法，所以共有A25·A66＝14400(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的

A13·A77种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法，所以共有A88－2A13·A77＋A23·A66＝14400(种)不同的排法．法三(元素分析法)从中间六个位置

挑选三个让三个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36·A55＝14400(种)不同的排法．(4)法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A15·A77种不同的排

法；如果首位排女生，有A13种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A13·A15·A66种不同的排法，因此共有A15·A77＋A13·A15·A66＝36000(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除两

端都是女生的排法A23·A66种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A88－A23·A66＝36000(种)不同的排法．规律方法排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题．(1

)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.【训练2】分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(

1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有

A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种

)排法．题型三定序问题【例3】五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．解(1)首先五个人站成一排，共有A55种排法，其中A，B，C三人的全排列有A33种排法，而A，B，C从左到右的顺序

只是其中一种，所以满足条件的排法共A55A33＝20(种)．(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共A55A22·A22＝30(种)．规律方法在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若

有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有Am＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Amm种排法，其中只有一个排列是我们需要的，

因此共有Am＋nm＋nAmm种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．【训练3】

(1)7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有__________种不同的排法．(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件．解析(1)7人排队，2人顺序固定，∴共有A77A22＝252

0(种)不同的排法．(2)若1，3，5，7的顺序不定，有A44＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的124，故有124A77＝210(个)七位数符合条件．答案(1)2520(2)210一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素

养．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．3．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素

排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法二、素养训练1．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种B．60种C．125种

D．243种解析依题意，满足题意的不同的填法共有A35＝60(种)，选B.答案B2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析根据甲、乙的位置要求分为两类：第一类：甲在最左端，有A55

＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案B3．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有()A．720种B．360种C．240种D．120种解析将甲、乙两

人视为1人与其余4人排列，有A55种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A22·A55＝240(种)．答案C4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．解析5张参观券全部分给4人，分给

同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案965．解方程A42x＋1＝140A3x.解根据题意，原方程等价于2x＋1≥4，x≥3，x∈N*

，（2x＋1）·2x·（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2），即x≥3，x∈N*，（2x＋1）（2x－1）＝35（x－2），整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，解得x＝3x＝234∉N*，舍去.基础达标一、选择题1．4·5·

6·„·(n－1)·n等于()A．A4nB．An－4nC．n！－4!D．An－3n解析因为Amn＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)，所以An－3n＝n(n－1)(n－2)„[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)(n－2)·„·6·5·4.答案D2．A，B，C，D，E五人并排

站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种解析把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24(种)排法．答案D

3．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A．24种B．36种C．48种D．72种解析若第

一棒选A，则有A24种选派方法；若第一棒选B，则有2A24种选派方法．由分类加法计数原理知，共有A24＋2A24＝3A24＝36(种)选派方法．答案B4．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4B．5C．6D．

7解析因为A2n＋1－A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5.答案B5．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()A．60个B．48个C．36个D．

24个解析由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A44＝48，大于50000的偶数共有2A33＝12，所以小于50000的偶数共有48－12＝36(个)．答案C二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不

能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种(用数字作答)．解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12(种)方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．答案367．不等式A2n－n＜15的解集为__________．解析由不

等式A2n－n＜15，得n(n－1)－n－15＜0，整理得n2－2n－15＜0，解得－3＜n＜5.又因为n≥2且n∈N*，所以n＝2，3，4.答案{}2，3，48．用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位

数有______种．解析分两类：0夹在1，3之间有A22A33种排法，0不夹在1，3之间又不在首位有A12A22A12A22种排法．所以一共有A22A33＋A12A22A12A22＝28(种)排法．答案28三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和

3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共

有不同排法A25A66＝14400(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四

个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37440(种)．10．4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法

？解(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理得，有A33A55＝720(种)不同的排法．(2)先将男同学排好，共有A44种排法，再在这4个男同学

的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1440(种)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头

的5个空当中，则有A25种排法．所以共有A44A22A25＝960(种)不同的排法．能力提升11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为()A．24B．18C．16D．10解析第一

类，甲是最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲不是最后一个体验，则有A12A22种方法，所以小李旅游的方法共有A33＋A12A22＝10(种)，故选D.答案D12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若

正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23

A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，其中A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．创新猜想13．(多

选题)下列等式成立的是()A．A3n＝(n－2)A2nB.1nAnn＋1＝An－1n＋1C．nAn－2n－1＝AnnD.nn－mAmn－1＝Amn解析A中右边＝(n－2)(n－1)n＝A3n＝左边；C中左边＝n(n－1)(n－2)ׄ×2＝n(n－1)(n－2)ׄ×2

×1＝Ann＝右边；D中左边＝nn－m·（n－1）！（n－m－1）！＝n！（n－m）！＝Amn＝右边，只有B不正确．答案ACD14．(多空题)由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有_

_________个；(2)若x＝0，则其中的偶数共有__________个；(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝__________．解析(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×A33＝12(个)

．(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有A23＝6个．②个位是2或4的，有A12×A12×A12＝8个．所以偶数共有6＋8＝14(个)．(3)显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A13·A23次，所以这样的数字之

和是(1＋2＋4＋x)·A13·A23，即(1＋2＋4＋x)·A13·A23＝252，所以7＋x＝14，所以x＝7.答案(1)12(2)14(3)7