【文档说明】（通用版）中考数学一轮复习讲与练17《二次函数的实际应用》精讲精练（教师版）.doc，共(12)页，136.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六节二次函数的实际应用二次函数的实际应用1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(A)A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm2.某公司在固定线

路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表

示Q；(2)当x＝70，Q＝450时，求n的值；(3)若n＝3，要使Q最大，确定x的值；(4)设n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐

标是－b2a，4ac－b24a]解：(1)Q＝－110x2＋6nx＋100；(2)将x＝70，Q＝450代入Q＝－110x2＋6nx＋100中，得450＝－110×702＋6×70n＋100，解得n＝2

；(3)当n＝3时，Q＝－110x2＋18x＋100＝－110(x－90)2＋910.∵－110<0，∴函数图像开口向下，有最大值，则当x＝90时，Q有最大值，即要使Q最大，x＝90；(4)由题意，得420＝－110[40(

1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50.中考考点清单二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实

际应用；(2)与一次函数结合的实际应用.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求

最小值；(5)选择最优方案.解二次函数应用题步骤及关键点：步骤关键点(1)分析问题明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数表达式根据题意确定合适的表达式或建立恰当

的坐标系(3)求函数表达式变量间的数量关系表示及自变量的取值范围续表(4)应用性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围【方法技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所

表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端

点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值.中考重难点突破二次函数的实际应用【例1】如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)

，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面

积，并说明围法；如果不能，请说明理由.【答案】解：(1)设宽AB为xm，则BC为(24－3x)m.这时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；(2)由条件得，－3x2＋24x＝45.整理，得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.

∵0＜24－3x≤10，∴143≤x＜8.∴x＝3不合题意，舍去.故花圃的宽为5m；(3)能围成面积比45m2更大的花圃.S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵143≤x＜8，∴当x＝143时，S最大＝48－3143－42＝462

3(m2).故能围成面积比45m2更大的花圃.围法：24－3×143＝10(m)，花圃的长为10m，宽为423m，这时有最大面积4623m2.1.某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成

栅栏，栅栏的总长为24m，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式为__S＝－4x2＋24x__，x的取值范围是__2≤x＜6__，当x＝__3__时，面积S最大，最大面积为__36__m2__.【例2】某商场经营某种品牌的

玩具，购进单价是30元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件.(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你用含x的代数式分别来表示销售量y(件)

和销售该品牌玩具获得利润W(元)，并把结果填写在下面的表格中：销售单价(元)x销售量y(件)________销售玩具获得利润W(元)________(2)若商场要获得10000元的销售利润，该玩具的销售单价x应定为多少元？(3)若玩具厂规定

该品牌玩具销售单位不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】解：(1)销售单价(元)x销售量y(件)1000－10x销售玩具获得利润W(元)－10x2＋1300x－30000(2)由题意，得－10

x2＋1300x－30000＝10000.解得x1＝50，x2＝80.答：该玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元的销售利润；(3)根据题意，得1000－10x≥540，x≥44，解得44≤x≤46.W＝－10x2＋1300x－30000＝－10

(x－65)2＋12250，∵a＝－10＜0，∴w随x增大而增大，∴当x＝46时，w最大值＝8640(元).2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若

每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(C)A.140元B.150元C.160元D.180元【例3】杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶

端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，则这次表演是否成功？请说明理由.【答案】解：(1)y＝－35x2＋3x

＋1＝－35x－522＋194.∵a＝－35＜0，∴函数有最大值，即演员弹跳离地面的最大高度是194m；(2)由于OC＝4m，故将x＝4代入函数表达式，得y＝－35×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功.3.如图是一个横断面为抛

物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面下降1m时，水面的宽度为__26__m.【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向

点C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为

多少秒时，△PBQ的面积最大？【答案】解：(1)设xs后，△PBQ的面积等于4cm2，根据题意，得12×2x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4，∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1；(2)设xs后，PQ的长度等于5cm，根据

题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2；(3)设xs后，△PBQ的面积等于ycm2，根据题意，得y＝x(5－x)＝－x2＋5x，∵a＝－1＜0，∴当x＝－b2a＝52时，y有最大值.4.如图，已知等腰Rt△ABC，∠C＝

90°，BC＝2cm，在三角形内作矩形CDEF，使D在AC上，E在AB上，F在BC上，则矩形CDEF的最大面积为__1__cm2__；此时矩形CDEF为__正方形__.第六节二次函数的实际应用1.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝120x2(x>0)

.若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为(C)A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s2.一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1

)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)A.1mB.5mC.6mD.7m3.凸四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC＋BD＝20.则当AC＝__10__时，此四边形面积有最大值为__50__.4.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长

方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m

，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)y＝－16x2＋2x＋4.∴当x＝－b2a＝6时，y最大＝10，即拱顶D到地面OA的距离

为10m；(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝223>6，∴能安全通过；(3)令y＝8，即－16x2＋2x＋4＝8，可得x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，x1－x2＝4

3.答：两排灯的水平距离最小是43m.5.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x

＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)

设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得80＝60k＋b，100＝50k＋b，解得k＝－2，b＝200.∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)；(2)由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450，∴所求函数的关系式

为W＝－2x2＋260x－6450(30≤x≤60)；(3)W＝－2(x－65)2＋2000.∵－2<0，对称轴为直线x＝65，∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大.∴当x＝60时，W有最大值为1950，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大

，最大利润为1950元.6.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝7.5x（0≤x≤4），5x＋10（4＜x≤14）.(1)工人甲第几天生产的产

品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图像如图.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？解：(1)根据题意，得：∵若7.5x＝70，得：x＝283＞4，不符合题意：∴5x＋

10＝70，解得x＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图像知，当0≤x≤4时，P＝40，当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，由题意，得4k＋b＝40，14k＋b＝50，解得k＝1，b＝36

，∴P＝x＋36；①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，∵w随x的增大而增大，∴当x＝4时，w最大＝600元；②当4＜x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋1

10x＋240＝－5(x－11)2＋845，∴当x＝11时，w最大＝845，∵845＞600，∴当x＝11时，W取得最大值为845元，∴w＝150x（0≤x≤4），－5x2＋110x＋240（4＜x

≤14）.答：第11天时，利润最大，最大利润是845元.7.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间.每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例.

每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40cm

的薄板，获得的利润是26元.(利润＝出厂价－成本价)①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是－b2a，4ac－b24a]解：(

1)设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.由表格中的数据得50＝20k＋n，70＝30k＋n.解得k＝2，n＝10.∴y＝2x＋10；(2)①设一张薄板的利

润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P＝y－mx2＝2x＋10－mx2.将x＝40，P＝26代入P＝2x＋10－mx2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m＝125.∴P＝－125x2＋2x＋10；②∵a＝－

125<0，∴当x＝－b2a＝－22×－125＝25(在5～50之间)时，P最大值＝4ac－b24a＝4×－125×10－224×－125＝35.即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大

，最大利润是35元.8.如图所示，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点

的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明

理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.解：(1)当h＝2.6时，将点A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h，得36a＋2.6＝2，a＝－160，∴y与x的关系式为y＝－160(x－6)2＋2.6；(2)当

x＝9时，y＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；令y＝0，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6－239(舍去)，x2＝6＋239＞18，∴球会出界；(3)将A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h得36a＋h＝2，a＝2－h36；当x＝9

时，y＝2－h36(9－6)2＋h＞2.43①；当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h≤0②，由①②得h≥83.