【文档说明】（通用版）中考数学一轮复习讲与练15《反比例函数的图像及性质》精讲精练（教师版）.doc，共(15)页，258.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节反比例函数的图像及性质反比例函数的图像及性质1.一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图像大致是(C),A),B),C),D)2.定义新运算：a⊕b＝ab，（b＞0）－

ab，（b＜0）例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y＝2⊕x(x≠0)的图像大致是(D),A),B),C),D)3.反比例函数y＝mx的图像如图所示，以下结论：①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而

增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h＜k；④若P(x，y)在图像上，则P′(－x，－y)也在图像上.其中正确的是(C)A.①②B.②③C.③④D.①④4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y

＝kx(k≠0)的图像大致是(A),A),B),C),D)5.反比例函数y＝2x的图像在(B)A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限6.下列说法中不正确的是(D)A.函数y＝2x的图像经过原点B.函数

y＝1x的图像位于第一、三象限C.函数y＝3x－1的图像不经过第二象限D.函数y＝－3x的值随x的值的增大而增大7.在反比例函数y＝mx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝mx2＋mx的图像大致是(A),A),B),C),D)8

.如图，函数y＝－x的图像是二、四象限的角平分线，将y＝－x的图像以点O为中心旋转90°与函数y＝1x的图像交于点A，再将y＝－x的图像向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为__(2，0)__.9.如图，点A是反比例函数y＝kx图像上的一个动点，过点A

作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，C，矩形ABOC的面积为4，则k＝__－4__.10.如图，已知：点A(0，2)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y

＝－2x＋b也随之移动，并与x轴交于点B，设动点P移动时间为ts.(1)当t＝2s时，求直线l的函数表达式；(2)如果点M(a，3)，当OM是Rt△OPB斜边PB上的中线时，在备用图中画出图形，并分别

求出t和a的值；(3)直接写出t为何值时，直线l与双曲线y＝4x(x＞0)有且仅有一个公共点.解：(1)当t＝2，AP＝2³1＝2，∵A(0，2)，∴OA＝2，∴OP＝OA＋AP＝2＋2＝4，∴y＝－2x＋4

；(2)由题意可知AP＝t，∴OP＝OA＋AP＝t＋2，∴直线l的表达式为y＝－2x＋t＋2，∴P(0，t＋2)，Bt＋22，0，∵OM是Rt△OPB斜边PB上的中线，∴M(a，3)是PB的中点，∴t＋22＝2a，t＋2＝3³2，∴t＝4，a＝32；(3)t＝－2＋42.考点清单反比例

函数的概念1.一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成__y＝kx__(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，k称为比例函数.反比例函数的图像和性质2.函数图像表达式y＝kx(k≠0，k为常数)kk＞0k＜0图像3.

函数图像的性质函数系数所在象限增减性对称性y＝kx(k≠0)k＞0第一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x的增大而减小关于y＝－x对称k＜0第二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而增大关于y＝x对称4.k的几何意义设P(x，y)是反比例函数y＝kx图像上任一点，过点P作PM⊥x

轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM²PN＝|y|²|x|＝|xy|＝|k|.【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合：(1)反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除

法；②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数

值的大小.(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解.反比例函数表达式的确定5.步骤：(1)设所求的反比例函数为y＝kx(k≠0)；(

2)根据已知条件列出含k的方程；(3)由代入法求待定系数k的值；(4)把k代入函数表达式y＝kx中.6.求表达式的两种途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝kx(x≠0)的前提下，根据一对x，y的

值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式.反比例函数的应用7.利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型.一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝k

x(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式.中考重难点突破反比例函数的图像及性质【例1】(1)若ab<0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx在同一坐标系的大致图像可能

是(B),A),B),C),D)(2)如果点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝kx(k>0)的图像上，那么y1，y2，y3的大小关系是(B)A.y1<y3<y2B.y2<y1<y3C.y1<y2<y3D.y3<y2<y1【解析】(1

)据ab＜0及正比例函数与反比例函数图像的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论，据反比例函数中k＜0判断出函数所在的象限及增减性，再据各点横坐标特点即可得出结论；(2)本题主要考查反比例函数的图像与性质.【答案】(1)B；(2)B1.若点A

(a，b)在反比例函数y＝2x的图像上，则代数式ab－4的值为(B)A.0B.－2C.2D.－62.如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)

的函数图像大致是(A),A),B),C),D)3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝x－1与函数y＝1x的图像可能是(C),A),B),C),D)反比例函数k的几何意义【例2】如图，点A在双曲线y＝4x上，点B在双曲线y＝kx(k≠0)上，

AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为点D，C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为(B)A.12B.10C.8D.6【答案】A4.如图，点A的坐标是(2，0)，△ABO是等边三角形，点B在

第一象限.若反比例函数y＝kx的图像经过点B，则k的值是(C)A.1B.2C.3D.235.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝6x(x＞0)的图像上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，

取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D，则△APD的面积为__6__.反比例函数与一次函数结合【例3】)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3).反比例函数y＝mx(x＞0)的图像经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像与该

反比例函数图像的一个公共点.(1)求反比例函数的表达式；(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像一定过点C；(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围.(不必写出过程)【解析】(1

)点B(3，1)，C(3，3)得BC⊥x轴，BC＝2，据平行四边形性质得AD＝BC＝2，而A点坐标为(1，0)，可得D(1，2).即易得解；(2)把x＝3代入y＝kx＋3－3k，得y＝3即可说明；(3)设P点横坐标为a，由于一次函数过点C且y随x的增大而增大

时，P点纵坐标要小于3，横坐标要小于3，故由y＝2a＜3得a＞23.【答案】解：(1)y＝2x；(2)当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3.∴一次函数的图像一定过点C；(3)设点P的横坐标为a，则23＜a＜3.6.如图，已知点A(1，2)是正比例函数y1＝kx(k≠0)与反比例函数y2＝mx(m≠

0)的一个交点.(1)求正比例函数及反比例函数的表达式；(2)根据图像直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1<y2?解：(1)将A(1，2)代入正比例函数y1＝kx得，k＝2，∴y1＝2x；将A(1，2)代入反比例函

数y2＝mx得，m＝2，∴y2＝2x；(2)0<x<1.7.在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上一点，过点F的反比例函数y＝kx(k>0)的图像与AC边交于点E.(1)请用k表示点E，F的坐标；(2)若△OEF的面

积为9，求反比例函数的表达式.解：(1)∵E，F是反比例函数y＝kx(k>0)图像上的点，且OB＝6，OA＝4，∴点E坐标为k4，4，点F坐标为6，k6；(2)由题意知：S△ECF＝12

EC³CF＝126－14k4－16k，∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△ECF＝24－12k－12k－126－14k4－16k＝9.∴12

－k248＝9，解得k＝±12(负值舍去).∴反比例函数的表达式为y＝12x.第四节反比例函数的图像及性质1.若反比例函数y＝kx的图像过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在(D)A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限2.已知

：反比例函数y＝6x，当1<x<3时，y的最小整数值是(A)A.3B.4C.5D.63.已知：一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx的图像如图所示，当y1<y2时，x的取值范围是(D)A.x<2B.x>5C.2<x<5D.0<x<2或x>54.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形

ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a).如图，若曲线y＝3x(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是__3≤a≤3＋1__.5.若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，都是反比例函数y＝1x图像上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是(B

)A.x1＜x2＜x3B.x1＜x3＜x2C.x2＜x1＜x3D.x2＜x3＜x16.如图，直线和双曲线分别是函数y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x＞0)的图像，则以下结论：①两函数图像的交点A的坐标为(2，2)

；②当x＞2时，y1＜y2；③当x＝1时，BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是(A)A.①③④B.①②③C.②③④D.①②③④7.如图，在平面直角坐

标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝3x的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为(D)A.2B.4C.22D.428.如图所示，已知A(0.5，y1)

，B(2，y2)为反比例函数y＝1x图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是(D)A.(0.5，0)B.(1，0)C.(1.5，0)D.(2.5，0)9.反比例函数y＝ax(a>0，a为常数)和y＝2x在第一象限内的图像如图

所示，点M在y＝ax的图像上，MC⊥x轴于点C，交y＝2x的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝2x的图像于点B，当点M在y＝ax的图像上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中

点时，则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是(D)A.0个B.1个C.2个D.3个10.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝8x(x＞0)和y＝kx(x＞0)的图像交于P

，Q两点，若S△POQ＝14，则k的值为__－20__.11.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝kx在第一象限内的图像交于点A(m，2)，将直线y＝2x向下平移4个单位长度后与反比例函数y＝kx在

第一象限内的图像交于点P.则k＝__2__；△POA的面积为__2__.12.如图，点A在双曲线y＝5x上，点B在双曲线y＝8x上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于__32__.13.如图，在直角坐标系中

，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2).过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.(1)求直线DE的表达式和点M的坐标；(2)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图像经过点M，求该反比

例函数的表达式，并通过计算判断点N是否在该函数的图像上；(3)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图像与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围.解：(1)设直线DE的表达式为y＝kx＋b，∵点D，E的坐标为(0，3)，(6，0)，∴3

＝b，0＝6k＋b，解得k＝－12，b＝3，∴y＝－12x＋3.∵点M在AB边上，B(4，2)，而四边形OABC是矩形，∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线y＝－12x＋3上，∴2＝－12x＋3.∴x＝2.∴M(2，2)；(2)∵y＝mx(x＞0)经过点M(2

，2)，∴m＝4，∴y＝4x.又∵点N在BC边上，B(4，2)，∴点N的横坐标为4.∵点N在直线y＝－12x＋3上，∴y＝1，∴N(4，1)，∵当x＝4时，y＝4x＝1，∴点N在函数y＝4x的图像上；(3)当反比例函数y＝mx(x＞0)的

图像通过点M(2，2)，N(4，1)时m的值最小，当反比例函数y＝mx(x＞0)的图像通过点B(4，2)时m的值最大，∴2＝m2，有m的值最小为4，2＝m4，有m的值最大为8，∴4≤m≤8.14.如图，在平面

直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y＝mx的图像交于A(2，3)，B(－3，n)两点.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写

出OP的长.解：(1)∵反比例函数y＝mx的图像经过点A(2，3)，∴m＝6，∴反比例函数的表达式是y＝6x，∵点B(－3，n)在反比例函数y＝6x的图像上，∴n＝－2.∴B(－3，－2).∵一次函数y＝kx＋b的图像经过A(2，3)，B(－3，－2)两点，∴

2k＋b＝3，－3k＋b＝－2.解得k＝1，b＝1.∴y＝x＋1；(2)OP的长为3或1.