【文档说明】中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题八《二次函数与线段问题结合》(教师版).doc，共(20)页，404.164 KB，由MTyang资料小铺上传

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类型二二次函数与线段问题结合1．已知点A(－1，1)、B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，

垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q

从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．图①图②(1)解：抛物线的解析式为y＝12x2－12x；(2)证明：设直线AF的解析式为y＝kx＋m，将点A(－1，1)代入y＝kx＋m

中，即－k＋m＝1，∴k＝m－1，∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m.联立直线AF和抛物线解析式得，y＝（m－1）x＋m，y＝12x2－12x.解得x1＝－1，y1＝1.x2＝2m

，y2＝2m2－m.∴点G的坐标为(2m，2m2－m)．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为(2m，0)．∵抛物线的解析式为y＝12x2－12x＝12x(x－1)，∴点E的坐标为(1，0)．∴直线AE的解析式为y＝－12x＋12.设直线FH

的解析式为y＝k2x＋b2，将F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，b2＝m，2mk2＋b2＝0.解得：k2＝－12，b2＝m.∴直线FH的解析式为y＝－12x＋m.∴FH∥AE；(3)解：当运动时间为15－1136秒或15＋1136秒或13－892

秒或13＋892秒时，QM＝2PM.2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的

面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．解：(1)抛物线的解析式为：y＝－12x2＋32x＋2；(2)∵抛物线的解析式为y＝－12x2

＋32x＋2，∴点C的坐标是(0，2)，∵点A(－1，0)、点D(2，0)，∴AD＝2－(－1)＝3，∴S△CAD＝12×3×2＝3，∴S△PDB＝3，∵点B(4，0)、点D(2，0)，∴BD＝2，∴S△PDB＝12×2×|n|＝3，∴n＝3或n－3，①当n＝3时，－12

m2＋32m＋2＝3，解得m＝1或m＝2，∴点P的坐标是(1，3)或(2，3)．②当n＝－3时，－12m2＋32m＋2＝－3，解得m＝5或m＝－2，∴点P的坐标是(5，－3)或(－2，－3)．综上，可得点P的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)或

(－2，－3)；(3)线段EG的最小值是455.3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－3经过B，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线

上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST＝TD时，求线段MN的长．解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；图①(2)如解图①，y＝x2－2x

－3，当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，∴OA＝1，OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AC＝10，AB＝4，∵PE⊥x轴，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∵点P

的横坐标为t，∴EM＝EB＝3－t，连接AM，∵S△ABC＝S△AMC＋S△AMB，∴12AB·OC＝12AC·MN＋12AB·EM，∴12×4×3＝12×10MN＋12×4(3－t)，∴MN＝2105t；图②(3)如解图②，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴对称轴

为x＝1，由抛物线对称性可得D(2，－3)，∴CD＝2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK＝90°，CK＝OB＝BK＝3，∴DK＝1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB＝90°，过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H，O

R⊥BQ交BQ于点I，交BK于点R，OG⊥OS交KB于G，连接SR，∴∠OHC＝∠OIQ＝∠OIB＝90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ＋∠OBQ＝180°，∴∠OBG＝∠OCS，∵OB＝OC，∠BOG＝∠COS，∴△OBG≌△OCS，∴OG＝OS，CS＝GB，∠GOB＝∠

SOC，∴∠SOG＝90°，∴∠ROG＝45°，∵OR＝OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR＝GR，∴SR＝CS＋BR，∵∠BOR＋∠OBI＝90°，∠IBO＋∠TBK＝90°，∴∠BOR＝∠TBK，∴tan∠BOR＝tan∠TBK，∴BROB

＝TKBK，∴BR＝TK，∵∠CTQ＝∠BTK，∴∠QCT＝∠TBK，∴tan∠QCT＝tan∠TBK，设ST＝TD＝m，∴SK＝2m＋1，CS＝2－2m，TK＝m＋1＝BR，SR＝3－m，RK＝2－m，在Rt△SKR中，∵SK2＋RK2＝SR2，∴(2m＋1)2＋(2

－m)2＝(3－m)2，解得m1＝－2(舍去)，m2＝12；∴ST＝TD＝12，TK＝32，∴tan∠TBK＝TKBK＝32÷3＝12，∴tan∠PCD＝12，∵CF＝OE＝t，∴PF＝12t，∴PE

＝12t＋3，∴P(t，－12t－3)，∴－12t－3＝t2－2t－3，解得t1＝0(舍去)，t2＝32.∴MN＝d＝2105t＝2105×32＝3105.类型三与面积问题结合1．(2017·恩施州)如图，已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2，2)，(4，5)，过定

点F(0，2)的直线l：y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、＝)，并证明你的判断；(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，

设点P(0，m)，求自然数m的值；(4)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．(导学号58824241)解：(1)抛物线的解析式为y＝14x2＋1；(2)

BF＝BC.理由如下：设B(x，14x2＋1)，而F(0，2)，∴BF2＝x2＋(14x2＋1－2)2＝x2＋(14x2－1)2＝(14x2＋1)2，∴BF＝14x2＋1，∵BC⊥x轴于点C，∴BC＝14x2＋1，∴BF＝BC；图①(3)如解图①，m为自然数，则点P在F点上方，∵以B

、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB＝CF＝PF，而CB＝FB，∴BC＝CF＝BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF＝60°，∴∠OCF＝30°，在Rt△OCF中，CF＝2OF＝4，∴PF＝CF＝4，∴P(0，6)，即自然数m的值为6；图②(4)

作QE∥y轴交AB于E，如解图②，当k＝1时，一次函数解析式为y＝x＋2，解方程组y＝x＋2，y＝14x2＋1.得x＝2＋22，y＝4＋22，或x＝2－22，y＝4－22，则B(2＋22，4＋22)

，设Q(t，14t2＋1)，则E(t，t＋2)，∴EQ＝t＋2－(14t2＋1)＝－14t2＋t＋1，∴S△QBF＝S△EQF＋S△EQB＝12(2＋22)EQ＝12(2＋1)(－14t2＋t＋1)＝－2＋14(t－

2)2＋22＋2，当t＝2时，S△QBF有最大值，最大值为22＋2，此时Q点坐标为(2，2)．2．(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线

的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点

N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)b＝－2，c＝－3;(2)设点F坐标为(0，m)，∵对称轴是

直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)，由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线

BE的表达式为y＝2x－6，∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F坐标为(0，－2)．(3)存在，满足题意的点Q的坐标为(12，－154)或(32，－154)．3．(2017·抚顺)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴

于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作

AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值

，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．(导学号58824242)解：(1)抛物线的解析式为y＝－13x2＋43x＋4；(2)点G(32t，4－12t)，将(32t，4－12t)代入到抛物线得4－12t＝－13(32t)2＋43×32t＋4，解得

t1＝0(舍去)，t2＝103，∴当t＝103时，G落在抛物线上；(3)t1＝85，此时路径长度为4105，t2＝5，此时路径长度为1＋210.类型四与相似三角形结合1．如图，已知直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B

两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式；(2)问：当

t为何值时，△APQ为直角三角形；(3)过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B

，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)OP＝t，AQ＝2t，则PA＝3－t，∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°，∴∠QAP＝45°.当∠

PQA＝90°时，如解图①，PA＝2AQ，即3－t＝2×2t，解得t＝1；当∠APQ＝90°时，如解图②，AQ＝2AP，即2t＝2(3－t)，解得t＝32；综上所述，当t＝1或t＝32时，△PQA是直角三角形；图①(3)如解图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)

，∵PA＝PE，则点E的坐标为(t，－t＋3)，易得△AQH为等腰直角三角形，∴AH＝HQ＝22AQ＝22·2t＝t，∴点Q的坐标为(3－t，t)，点F的坐标为(3－t，－t2＋4t)，∴FQ＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴四边形PQFE为平行四边形，∴EP＝FQ.即

3－t＝3t－t2，解得t1＝1，t2＝3(舍去)，∴点F的坐标为(2，3)；图②图③(4)存在．当t＝94时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．2.(2017·河南)如图，直线y＝－23x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点

B，抛物线y＝－43x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．(导学号58824243)解：(1)B(0，2)，抛物线的解析式为y＝－43x2＋103x＋2；(2)①由(1)可知直线

解析式为y＝－23x＋2，∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P(m，－23m＋2)，N(m，－43m2＋103m＋2)，∴PM＝－23m＋2，AM＝3－m，PN＝－43m2＋103m＋2－(－23

m＋2)＝－43m2＋4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°即△BPN∽△APM，或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴BN＝OM＝m，∴BNAM＝PNPM，即m3－m＝－43m2＋4m－23m＋

2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5；∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，即△BPN∽△MPA，则有PNPA＝BPMP，∵A(3，0)，B(0，2)，P(m，－23m＋2)，0＜m＜3，∴BP＝m2＋（－23m＋2－2）2＝133m，AP＝（m－3）2＋（

－23m＋2）2＝133(3－m)，－43m2＋4m133（3－m）＝133m－23m＋2，解得m＝0(舍去)或m＝118，∴M(118，0)；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5

，0)或(118，0)；②当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为12或－1或－14.3.(2016·湖州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D

，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(

3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．解：(1)二次函的数解析式为y＝－x2＋2x＋4，点M的坐标为(1，5)；(2)设

直线AC的解析式为y＝kx＋m，把点A(3，1)，C(0，4)代入得3k＋m＝1，m＝4，解得k＝－1，m＝4，∴直线AC的解析式为y＝－x＋4，如解图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别

交于点E、点F，把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为P1(13，113)，P2(－13，133)，P3(3，1)，P4(－3，7)．类型五与角有关的探

究1．(2017·锦州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在

，说明理由；(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)假设存在点P(m，n)，使得∠APB＝90°，如

解图①，连接PA，PB.∵PH⊥AB，∴可得△PAH∽△BPH，∴PHBH＝AHPH，即PH2＝AH·BH，∴(－n)2＝(3－m)(m＋1)，整理得n2＝－m2＋2m＋3，∵点P在抛物线上，∴n＝m2－2m－3，

∴n2＝－n，解得n＝－1或n＝0(舍)．将n＝－1代入抛物线得m2－2m－3＝－1，解得m1＝1＋3，m2＝1－3，∴满足条件的点P有两个，横坐标分别为1＋3，1－3；图①图②(3)如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，∵D(－2，5)，∴DE＝5，OE＝2.∴AE＝OE＋OA＝5，∴DE＝AE，∴

∠DAE＝45°.过D作DF⊥PQ于点F，∵DF∥x轴，∴∠FDQ＝45°，∴在Rt△DFQ中，DQ＝2FQ.根据题意，t＝BQ1＋DQ2＝BQ＋FQ，∴要使t最小，则BQ＋QF最小，根据垂线段最短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，此时BF⊥DF，点Q的横坐标为－1，则点Q的坐标为(－1

，4)．2．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为

直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标

；若不存在，请说明理由．(导学号58824244)备用图解：(1)抛物线的表达式为y＝－12x2－32x＋2；(2)①令y＝－12x2－32x＋2＝0，∴x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0)，如解图①，过D作DM⊥x轴交AC于

点M，过B作BN⊥x轴交AC于点N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴S1S2＝DEBE＝DMBN，设D(a，－12a2－32a＋2)，∴M(a，12a＋2)，∴DM＝－12a2－2a，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴BN＝52.∴S1S

2＝DMBN＝－12a2－2a52＝－15(a＋2)2＋45；∴当a＝－2时，S1S2的最大值是45；图①图②②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴AC＝25，BC＝5，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB

为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(－32，0)，∴PA＝PC＝PB＝52，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝43，过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点G，i．如解图②，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，∴∠CDG＝∠BA

C，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝12，即RCDR＝12，令D(a，－12a2－32a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－12a2－32a，∴－12a2－32a－a＝12，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2，∴xD＝－2，ii.∵∠

FDC＝2∠BAC，tan∠FDC＝43，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝3kFG＝12，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝35k，∴RC＝255k，RG＝455k，DR＝35k－455k＝1155k，∴DRRC＝1155k255k＝

－a－12a2－32a，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2911，点D的横坐标为－2或－2911.3．(2017·丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1

，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)若点

H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；(3)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y＝－23x2＋83x－2＝－23(x－2)2＋23；(2)如解图，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由(1)得C(0，－2)，∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝23x－2，∵H(

1，y)在直线BC上，∴y＝－43，∴H(1，－43)，∵B(3，0)，E(0，－1)，∴直线BE解析式为y＝13x－1，∴G(1，－23)，∴GH＝23，∵直线BE：y＝13x－1与抛物线y＝－23x2＋83x－2相交于点F，B，∴F(

12，－56)，∴S△FHB＝12GH×|xG－xF|＋12GH×|xB－xG|＝12GH×|xB－xF|＝12×23×(3－12)＝56；(3)P(32，错误!)．