【文档说明】中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题二《方程、不等式的实际应用》(教师版).doc，共(58)页，911.203 KB，由MTyang资料小铺上传

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类型二方程、不等式的实际应用1．我市大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住

宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和

网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？解：(1)设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得

：x＋y＝20×80%，x＝2y＋1，解得：x＝11，y＝5，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；(2)设今年土特产利润m万元，依题意得：16＋16×(1＋10%)＋m－20－11≥10，解得，m≥7.4，答：今年土特产销售

至少有7.4万元的利润．2．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G，H型装置数

量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？解：(1)设有x名工人加工G型装置，则有

(80－x)名工人加工H型装置，根据题意，6x4＝3（80－x）3，解得x＝32，则6×32÷4＝48(套)，答：每天能组装48套GH型电子产品；(2)设补充a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，(8

0－x)名工人加工H型装置，根据题意，6x＋4a4＝3（80－x）3，整理可得，x＝160－2a5，另外，注意到80－x≥120020，即x≤20，于是160－2a5≤20，解得：a≥30，答：至少需要补充30名新工人．3．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路

”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？(导学号58824234)解：(1)设甲种商品的销售单价为

x元，乙种商品的销售单价为y元，依题意有2x＝3y，3x－2y＝1500，解得x＝900，y＝600，答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；(2)设销售甲种商品a万件，依题意有900a＋600(8－a)≥5400，解得a≥2，答：至少销售甲种商品2万件．4．某

地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：污水处理器型号A型B型处理污水能力(吨/月)240180已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？解：(1)设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有2x＋3y＝44，x＋4y＝42，解得x＝10，y＝8.答

：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；(2)购买9台A型污水处理器，费用为10×9＝90(万元)；购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器，费用为10×8＋8＝80＋8＝88(万元)；购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器，费用为10×7＋8×2＝70＋16

＝86(万元)；购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用为10×6＋8×3＝60＋24＝84(万元)；购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器，费用为10×5＋8×5＝50＋40＝90(万元)；购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器，费用为10×

4＋8×6＝40＋48＝88(万元)；购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器，费用为10×3＋8×7＝30＋56＝86(万元)；购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器，费用为10×2＋8×9＝20＋72＝92

(万元)；购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器，费用为10×1＋8×10＝10＋80＝90(万元)；购买11台B型污水处理器，费用为8×11＝88(万元)．故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处

理器，费用最少．答：他们至少要支付84万元．类型三方程、不等式与函数结合的实际应用1．(2017·泰州)怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总

利润为280元．(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最

多是多少？解：(1)设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得，20x＋18y＝1120，（20－14）x＋（18－14）y＝280.解得：x＝20，y＝40，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)设A种菜品售价降0

.5a元，即每天卖(20＋a)份；总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖(40－a)份，每份售价提高0.5a元．w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)＝(6－0.5a)(20＋a)

＋(4＋0.5a)(40－a)＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160)＝－a2＋12a＋280＝－(a－6)2＋316，当a＝6时，w最大，此时w＝316.答：这两种菜品一天的总利润最多是316元，2．(2016·本溪)某种商品的进价为40元/件，以获利不低

于25%的价格销售时，商品的销售单价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如下表：x(件)„5101520„y(元/件)„75706560„(1)由题意知商品的最低销售单价是_50_元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数，求出y与x的函数关系式及x的

取值范围；(2)在(1)的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？(导学号58824235)解：(1)设y＝kx＋b，根据题意得：75＝5k＋b，70＝10k＋b，解得k＝1，b＝80.根据题意得：x≥1，－x＋8

0≥50，∴1≤x≤30且x为整数，∴y＝－x＋80(0＜x≤30，且x为整数)；(2)设所获利润为P元，根据题意得：P＝(y－40)x＝(－x＋80－40)x＝－(x－20)2＋400，∵a＝－1＜0，∴P有最大值，∴当x＝20时，P最大＝400，此时y＝60，∴当销

售单价为60元时，所获最大利润为400元．3．(2017·鄂州)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售为y个．

(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；(2)设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元

进货成本？解：(1)依题意有：y＝10x＋160；(2)依题意有：W＝(80－50－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290，∵－10＜0，x为偶数，∴x＝6或8时，W有最大值，W最大＝5280.故当销售单价定为80－6＝74元或80－8＝72元时，每周销售利润最大，最大利润是5

280元；(3)依题意有：－10(x－7)2＋5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50＝10000(元)，答：他至少要准备10000元进货成本．4．(2017·长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作

了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)甲车间每小时加工服装件数为_80_件；这批服装

的总件数为_1140_件；(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．解：(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60(件)，乙车间修好设备的时间为9－(420－120)÷60＝4(时).∴乙车间维

修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)；(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x，当80x＋60x－120＝1000时，x＝8.答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时

间为8小时．5．(2017·咸宁)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记

录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是_330_件，日销售

利润是_660_元；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？(导学号58824236)解：(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y

＝kx，将(17，340)代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x；根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.联立两线段所表示的函数关系式得，y＝20x，y＝－5x＋450，解得

x＝18，y＝360，∴交点D的坐标为(18，360)，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x（0≤x≤18），－5x＋450（18＜x≤30）；(3)当0≤x≤18时，根据题意得：(8－6)×20x≥640，解得：18≥x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：(8－6

)×(－5x＋450)≥640，解得：18＜x≤26.∴16≤x≤26.26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的天数共有11天；∵点D的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件

，360×2＝720(元)，∴试销售期间，日销售最大利润是720元．6．(2017·随州)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次

降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间

的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80－3x120－x储存和损耗费用(元)40＋3x3x2－64x＋400(3)在(2)的条件

下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？解：(1)设该种水果每次降价的百分率是x，依题意有10(1－x)2＝8.1，解得x＝10%或x＝190%(舍去)，

答：该种水果每次降价的百分率是10%；(2)当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×(1－10%)＝9，∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352，∵－17.7＜0，∴y随x的增大而

减小，∴当x＝1时，y有最大值，y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元，∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∵

－3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最大值，y最大＝380(元)，综上所述，y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为：y＝－17.7x＋352（1≤x＜9），－3x2＋60x＋8

0（9≤x＜15），第10天时销售利润最大；(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400)，252．5≤105(4－a)－115，解得a≤0.5.答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5

元．题型二几何图形探究题类型一与三角形、四边形有关的探究题1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3.迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰

三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点

E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．图①图②图③迁移应用：①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，在△DAB和△EAC中，DA＝EA，∠DAB＝∠EAC

，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC；②解：CD＝3AD＋BD；拓展延伸：①证明：如解图，作BH⊥AE于点H，连接BE.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC

，∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5

，FH＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，∴HFBF＝cos30°，∴BF＝4.532＝33.2．(2017·沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.(1)如图①

，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．(导学号58824237)解：(1)作

FH⊥AB于点H，如解图①所示：则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，∠FHE＝∠EDC＝90°

，∠FEH＝∠CED，EF＝CE，∴△EFH≌△CED(AAS)，∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB＋AH＝8，∴BF＝BH2＋FH2＝82＋42＝45；(2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB交BA延长线于点M，如解图②所示：则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，A

E＝1，∴DE＝3，同(1)得：△EFH≌△CED(AAS)，∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7，FM＝AE＋EH＝5，∴BF＝BM2＋FM2＝72＋52＝74；(3)AE的长

为1或2＋41.图①图②3．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝12BC.(不需要证明)【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分

别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_AC＝BD_(只添加一个条件)；(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，

CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积．解：【探究】平行四边形．【应用】(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，∵F，G是BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴△CFG∽△CBD，∴

S△CFGS△BCD＝14，∴S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD＋S△ABD＝5，∴S△CFG＋S△AEH＝54，同理：S△DHG＋S△BEF＝54，∴S四边形

EFGH＝S四边形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－52＝52，设AC与FG，EH相交于点M，点N，EF与BD相交于点P，∵FG∥BD，FG＝12BD，∴CM＝OM＝12OC，同

理：AN＝ON＝12OA，∵OA＝OC，∴OM＝ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，∴S阴影＝12S四边形EFGH＝54.类型二与图形的变换结合的探究题1．(2017·营口)在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.(1)若四

边形ABCD为正方形．①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系_DF＝2AE_；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由；(2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△E

BF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系．解：(1)②DF＝2AE.理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转，∴∠ABE＝∠DBF，∵BFBE＝2

，BDAB＝2，∴BFBE＝BDAB，∴△ABE∽△DBF，∴DFAE＝BFBE＝2，即DF＝2AE；(2)如解图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝mAB，∴BD＝AB2＋AD2＝1＋m2AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴BFBE＝BDBA＝1＋m2，∵

△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，∴BF′BE′＝BDBA＝1＋m2，∴△ABE′∽△DBF′，∴DF′AE′＝BDBA＝1＋m2，即DF′＝1＋m2AE′.2．(2017·潍坊)边长为6的等边△ABC

中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC＝23.(1)如图①，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；(2

)如图②，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)(导学号58824238)

图①图②解：(1)当CC′＝3时，四边形MCND′是菱形．理由：由平移的性质得，CD∥C′D′，DE∥D′E′，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°，∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC

′＝12∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′，∴D′E′∥CN，∴四边形MCND′是平行四边形，∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′是等边三角形，∴MC＝

CE′，NC＝CC′，∵四边形MCND′是菱形，∴CN＝CM，∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝23，∴CC′＝12E′C′＝3；(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD′＝∠BCE′，由(1)知，A

C＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′，当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即：AD′＝BE′，综上可知：AD′＝BE′.②如解图①，连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC＋CP

，∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如解图②，在△D′CE′中，由P为D′E′的中点，得AP⊥D′E′，PD′＝3，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9，在Rt△APD′中，由勾股定理得，AD′＝AP2＋PD′2＝221.图①图②3．(2017·葫芦岛)如图，∠

MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.(1)如图①，当点C在射线A

N上时．①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC、AD和BE的数量关系，写出结论并证明；(2)如图②，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝3，请直接写出AD和DF的长．图①图②解：(1)①BC＝BD；②AC＋AD＝3BE，证明

如下：如解图，过点B作BH⊥AE于点H，∵∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，∴∠1＝∠2＝12∠MAN＝30°，∵将∠ABC绕点B顺时针方向旋转120°，∴旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E，∴∠CBD＝∠ABE＝120°

，∴∠CBD－∠ABD＝∠ABE－∠ABD，即：∠3＝∠4，∵∠ABE＝120°，∠1＝30°∴∠5＝180°－∠ABE－∠1＝30°，∵∠5＝∠1，∴BA＝BE，∵∠5＝∠2＝30°，∠3＝∠4，∴△ABC≌△EBD，∴AC＝DE，∴AC＋AD＝DE＋A

D＝AE，∵BH⊥AE于点H，BA＝BE，∴AH＝EH＝12AE，∵∠5＝30°，∴EH＝BE·cos30°＝32BE，即：12AE＝32BE，∴AE＝3BE，∴AC＋AD＝3BE；(2)AD＝53，DF＝3137.4．(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，

点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图①中，线段PM与PN的数量关系是_PM＝PN_，位置关系是_PM⊥PN_；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断

△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解：(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴

∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同(1)的方

法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB

＋∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，在△AMN中，MN<AM＋AN，

∴当A、M、N共线时MN最大．∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM＋AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝22，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52，∴MN最大＝22＋52＝72，∴S△PMN最大＝12PM2＝12×12×MN

2＝14×(72)2＝492.类型三动点问题1．(2017·抚顺)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB.(1)

如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；(2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；(3)如图

③，∠MON＝60°，连接AP，设APOQ＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)AB＝PB；(2)存在．理由：如解图，连接BQ，∵BC垂直平分OQ，∴BQ＝OB，∴∠BQC＝∠BOC，∵OF平分∠MON，∴∠MO

F＝∠NOF，∴∠NOF＝∠BOC，∴∠BQC＝∠MOF，∴180°－∠BQC＝180°－∠MOF，∴∠AOB＝∠BQP，又∵PQ＝AO，∴△BQP≌△BOA，∴AB＝PB；(3)存在最小值，k最小值＝0.5.2．(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为

1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，①请直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)过D点；(图①仅供分析)②如图②，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形E

FCH为正方形；(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．(导学号58824239)解：(1)②∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90

°，且∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO，在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝

OB，OF＝AB，又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC，∴CF＝EF，∴四边形EFCH为正方形；(2)如解图，∵∠POK＝∠OGB，∠PKO＝∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO＝4S△OBG，∴S△PKOS△OBG＝(OPOG)2

＝4，∴OP＝2，∴S△POG＝12OG·OP＝12×1×2＝1，设OB＝a，BG＝b，则a2＋b2＝OG2＝1，∴b＝1－a2，∴S△OBG＝12ab＝12a1－a2＝12－a4＋a2＝12－（a2－12）2＋14.当a2＝1

2时，△OBG面积有最大值14，此时S△PKO＝4S△OBG＝1，∴四边形PKBG的最大面积为1＋1＋14＝94.3．(2017·沈阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q运动23秒后，点P从点D出发以与点Q相同的速度沿

DA向终点A运动，设点P运动的时间为t(秒)，将△APQ沿直线PQ翻折，得到△EPQ.(1)用含t的代数式表示：AP＝_6－t_；AQ＝_t＋23_；(2)连接BD，在运动过程中，当△PQE∽△BDC时，求t的值；(3)在运动过程中，∠PQE能否等于∠ABD的一半？如果能，求

出此时的t的值；如果不能，请说明理由(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．解：(2)∵将△APQ沿直线PQ翻折，得到△EPQ，∴△PQA≌△PQE，当△PQE∽△BDC时，∴△PQA∽△BDC，∴APBC＝AQCD

，即6－t6＝t＋233，解得t＝149；(3)不能．理由如下：如解图，延长AB至点M，使BM＝BD，连接DM，∵BM＝BD，∴∠BDM＝∠BMD，∵∠ABD＝∠BDM＋∠BMD，∴∠BDM＝∠BMD＝12∠ABD，当

∠PQE＝12∠ABD时，∵∠PQE＝∠PQA，∴∠PQA＝∠BMD＝12∠ABD，∴PQ∥DM，∴APAD＝AQAM，在Rt△BCD中，BD＝CD2＋BC2＝35，∴BM＝BD＝35，∴6－t6＝t＋233＋35，解得t≈3.5，∵0≤t≤73.所以在运动过程中，∠PQE不能等于∠AB

D的一半．题型三二次函数与几何图形综合题类型一与图形判定结合1．(2017·盘锦)如图，直线y＝－2x＋4交y轴于点A，交抛物线y＝12x2＋bx＋c于点B(3，－2)，抛物线经过点C(－1，0)，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线

于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；(3)在(2)的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．备用图备用图解：(1)抛物线的解析式为y＝12x2－32x－2；(2)∵

点D是抛物线与y轴的交点，∴点D的坐标为(0，－2)，∴BD∥x轴，∵点P是抛物线上一点，则设点P的坐标为(p，12p2－32p－2)，∵PE⊥BD，∴点E的坐标为(p，－2)，∴DE＝|p|，PE＝|12p2－32p－2－(－2)|＝|12p2－32p|，∵△PDE是等腰直角三角形，∴PE＝

DE，∴|12p2－32p|＝|p|，当12p2－32p＝p时，解得p＝0或p＝5，当12p2－32p＝－p时，解得p＝0或p＝1，∴这样的点P有两个，坐标分别为(5，3)，此时PE＝5，或(1，－3)，

此时PE＝1；(3)当点P的坐标为(5，3)时，点E的坐标为(5，－2)，此时BE＝2，如解图①，过E作EF⊥AB于F，延长EF到R，使得FR＝EF，则点R为点E关于AB的对称点，即为所求点．过R作RG⊥DE于G.∵点A是直线与y

轴的交点，∴点A的坐标为(0，4)，∴AD＝6，∵BD＝3，∴AB＝36＋9＝35，∵BEAB＝BFDB，∴BF＝255，∵tan∠EBF＝EFBF＝tan∠ABD＝ADBD＝2，∴EF＝455，∴ER＝

855，易得∠REG＝∠BAD，∴EG＝2GR，∴GR＝85，GE＝165，∴DG＝5－165＝95，此时点R的坐标为(95，－185)；当点P的坐标为(1，－3)时，点E的坐标为(1，－2)，过点E作EF⊥AB于F，延长EF到R使得EF＝FR，过R作RG⊥BD于G

，同上，易得BE＝2，∴GR＝85，GE＝165，∴DG＝215，∴点R的坐标为(215，－25)．综上可得，翻折后点E的对称点坐标为(95，－185)或(215，－25)．图①图②2．(2017·本溪)如图，在平面直角坐标系中，抛物

线y＝12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B(3，0)，经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4，52)，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与A，C重合)．(1)求该抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥AC，垂足为E，作PF∥y轴交直线AC

于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式；(3)点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．(导学号58824240)解：(1)该

抛物线解析式为y＝12x2－x－32；(2)令y＝0得12x2－x－32＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)．C(4，52)，∴直线AC的解析式为y＝12x＋12.∵点D是直线AC与y轴的交点，∴点D的坐标为(0，12)．在Rt

△AOD中，OA＝1，OD＝12，由勾股定理得AD＝52，∴cos∠ADO＝DOAD＝55.∵PF∥y轴，点P的横坐标为t，且点P在抛物线上，点F在直线AC上，∴点F的坐标为(t，12t＋12)，点P的坐标为(t，12t2－t－32)，∵点F在点P

的上方，∴PF＝12t＋12－(12t2－t－32)＝－12t2＋32t＋2.∵PF∥y轴，∴∠PFE＝∠ODA，∴cos∠PFE＝FEPFcos∠ODA＝55，∴m＝55PF＝－510t2＋3510t＋255；(3)满足条件的

点P的坐标为(1＋2，－1)或(1－2，－1)或(1＋6，1)或(2－5，1－5)或(5，1－5)．类型二与线段问题结合1．(2017·武汉)已知点A(－1，1)、B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①

，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从

原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．图①图②(1)解：抛物线的解析式为y＝12x2－12x；(2)证明：设直线AF的解析式为y

＝kx＋m，将点A(－1，1)代入y＝kx＋m中，即－k＋m＝1，∴k＝m－1，∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m.联立直线AF和抛物线解析式得，y＝（m－1）x＋m，y＝12x2－12x.解得x1＝－1，y1＝1.x2＝2m，y2＝2m2－m.∴点

G的坐标为(2m，2m2－m)．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为(2m，0)．∵抛物线的解析式为y＝12x2－12x＝12x(x－1)，∴点E的坐标为(1，0)．∴直线AE的解析式为y＝－12x＋12.设

直线FH的解析式为y＝k2x＋b2，将F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，b2＝m，2mk2＋b2＝0.解得：k2＝－12，b2＝m.∴直线FH的解析式为y＝－12x＋m.∴FH∥AE；(3)解：当运动时间为15

－1136秒或15＋1136秒或13－892秒或13＋892秒时，QM＝2PM.2．(2015·锦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，

点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接

写出随着点P的运动，线段EG的最小值．解：(1)抛物线的解析式为：y＝－12x2＋32x＋2；(2)∵抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋2，∴点C的坐标是(0，2)，∵点A(－1，0)、点D(2，0)，∴AD＝2－(－1)＝3，∴S△CAD＝12×3×2＝3，∴

S△PDB＝3，∵点B(4，0)、点D(2，0)，∴BD＝2，∴S△PDB＝12×2×|n|＝3，∴n＝3或n－3，①当n＝3时，－12m2＋32m＋2＝3，解得m＝1或m＝2，∴点P的坐标是(1，3)或(2，3)．②当n＝－3时，－12m2＋32

m＋2＝－3，解得m＝5或m＝－2，∴点P的坐标是(5，－3)或(－2，－3)．综上，可得点P的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)或(－2，－3)；(3)线段EG的最小值是455.3．(2017·哈尔滨)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐

标原点，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－3经过B，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交C

D于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于

点T，连接OQ交CD于点S，当ST＝TD时，求线段MN的长．解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；图①(2)如解图①，y＝x2－2x－3，当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，∴OA＝1，OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AC＝10，A

B＝4，∵PE⊥x轴，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∵点P的横坐标为t，∴EM＝EB＝3－t，连接AM，∵S△ABC＝S△AMC＋S△AMB，∴12AB·OC＝12AC·MN＋12AB·EM，∴12×4×3＝12×10MN＋12×4(3－t)，∴MN＝2105t；图②(3)如解图②，∵y

＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴对称轴为x＝1，由抛物线对称性可得D(2，－3)，∴CD＝2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK＝90°，CK＝OB＝BK＝3，∴DK＝1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB＝90°，过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H，OR⊥B

Q交BQ于点I，交BK于点R，OG⊥OS交KB于G，连接SR，∴∠OHC＝∠OIQ＝∠OIB＝90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ＋∠OBQ＝180°，∴∠OBG＝∠OCS，∵OB＝OC，∠BOG＝∠COS，∴△OBG≌△OCS，∴OG＝OS，CS＝GB，∠GOB＝∠SOC

，∴∠SOG＝90°，∴∠ROG＝45°，∵OR＝OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR＝GR，∴SR＝CS＋BR，∵∠BOR＋∠OBI＝90°，∠IBO＋∠TBK＝90°，∴∠BOR＝∠TBK，∴tan∠BOR＝

tan∠TBK，∴BROB＝TKBK，∴BR＝TK，∵∠CTQ＝∠BTK，∴∠QCT＝∠TBK，∴tan∠QCT＝tan∠TBK，设ST＝TD＝m，∴SK＝2m＋1，CS＝2－2m，TK＝m＋1＝BR，SR＝3－m，RK＝2－m，在Rt△SKR中，

∵SK2＋RK2＝SR2，∴(2m＋1)2＋(2－m)2＝(3－m)2，解得m1＝－2(舍去)，m2＝12；∴ST＝TD＝12，TK＝32，∴tan∠TBK＝TKBK＝32÷3＝12，∴tan∠PCD＝12

，∵CF＝OE＝t，∴PF＝12t，∴PE＝12t＋3，∴P(t，－12t－3)，∴－12t－3＝t2－2t－3，解得t1＝0(舍去)，t2＝32.∴MN＝d＝2105t＝2105×32＝3105.类型三与面积问题结合1．(2017·恩施州)如图，已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2

，2)，(4，5)，过定点F(0，2)的直线l：y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、＝)，并证明你的判断；(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为

顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值；(4)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．(导学号58824241)解：(1)抛物线的解析式为y＝14x2＋1；(2)BF＝BC.理由如下

：设B(x，14x2＋1)，而F(0，2)，∴BF2＝x2＋(14x2＋1－2)2＝x2＋(14x2－1)2＝(14x2＋1)2，∴BF＝14x2＋1，∵BC⊥x轴于点C，∴BC＝14x2＋1，∴BF＝BC；图①(

3)如解图①，m为自然数，则点P在F点上方，∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB＝CF＝PF，而CB＝FB，∴BC＝CF＝BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF＝60°，∴∠OCF＝30°，在Rt△OCF中，CF＝2OF＝4，∴PF＝CF＝4，∴P(0，6)，即自然数m的值为

6；图②(4)作QE∥y轴交AB于E，如解图②，当k＝1时，一次函数解析式为y＝x＋2，解方程组y＝x＋2，y＝14x2＋1.得x＝2＋22，y＝4＋22，或x＝2－22，y＝4－22，则B(2＋22，4＋22)，设Q(t，14t2＋1)，则E(t，t

＋2)，∴EQ＝t＋2－(14t2＋1)＝－14t2＋t＋1，∴S△QBF＝S△EQF＋S△EQB＝12(2＋22)EQ＝12(2＋1)(－14t2＋t＋1)＝－2＋14(t－2)2＋22＋2，当t＝2时，S△QBF有最大值，最

大值为22＋2，此时Q点坐标为(2，2)．2．(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连

接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，

说明理由．解：(1)b＝－2，c＝－3;(2)设点F坐标为(0，m)，∵对称轴是直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)，由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，

－4)∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6，∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F坐标为(0，－2)．(3)存在，满足题意的点Q的坐标为(12，－154)或(32，－154)．3．(2017·抚顺)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋

4交y轴于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为

t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直

接写出点G从出发到此时所经过的路径长．(导学号58824242)解：(1)抛物线的解析式为y＝－13x2＋43x＋4；(2)点G(32t，4－12t)，将(32t，4－12t)代入到抛物线得4－12t＝－13(32t)2＋43×32t

＋4，解得t1＝0(舍去)，t2＝103，∴当t＝103时，G落在抛物线上；(3)t1＝85，此时路径长度为4105，t2＝5，此时路径长度为1＋210.类型四与相似三角形结合1．如图，已知直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，点P在线段O

A上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；(3)过点P作

PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t

的值；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)OP＝t，AQ＝2t，则PA＝3－t，∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°，∴∠QAP＝45°.当∠PQA＝90°时，如解图①

，PA＝2AQ，即3－t＝2×2t，解得t＝1；当∠APQ＝90°时，如解图②，AQ＝2AP，即2t＝2(3－t)，解得t＝32；综上所述，当t＝1或t＝32时，△PQA是直角三角形；图①(3)如解图③，延长FQ

交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)，∵PA＝PE，则点E的坐标为(t，－t＋3)，易得△AQH为等腰直角三角形，∴AH＝HQ＝22AQ＝22·2t＝t，∴点Q的坐标为(3－t，t)，点F的坐标为(3－t，－t2＋4t)，∴FQ＝－t2

＋4t－t＝－t2＋3t，∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴四边形PQFE为平行四边形，∴EP＝FQ.即3－t＝3t－t2，解得t1＝1，t2＝3(舍去)，∴点F的坐标为(2，3)；图②图③(4)存在．当t＝94时，以B，Q，M

为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．2.(2017·河南)如图，直线y＝－23x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－43x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标

和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)

，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．(导学号58824243)解：(1)B(0，2)，抛物线的解析式为y＝－43x2＋103x＋2；(2)①由(1)可知直线解析式为

y＝－23x＋2，∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P(m，－23m＋2)，N(m，－43m2＋103m＋2)，∴PM＝－23m＋2，AM＝3－m，PN＝－43m

2＋103m＋2－(－23m＋2)＝－43m2＋4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°即△BPN∽△APM，或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥M

N，∴BN＝OM＝m，∴BNAM＝PNPM，即m3－m＝－43m2＋4m－23m＋2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5；∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，即△BPN∽△MPA，则有PNPA＝BPMP，∵A(3，0)，B(0，2)，P(m，－23m＋2)，0＜m＜3，∴BP＝

m2＋（－23m＋2－2）2＝133m，AP＝（m－3）2＋（－23m＋2）2＝133(3－m)，－43m2＋4m133（3－m）＝133m－23m＋2，解得m＝0(舍去)或m＝118，∴M(118，0)；

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(118，0)；②当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为12或－1或－14.3.(2016·湖州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(

3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平

移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．解：(1)二次函的数解析式为y＝－x2＋2x＋4，点M的坐标为(

1，5)；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋m，把点A(3，1)，C(0，4)代入得3k＋m＝1，m＝4，解得k＝－1，m＝4，∴直线AC的解析式为y＝－x＋4，如解图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E、点

F，把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为P1(13，113)，P2(－13，133)，P3(3，1)，P

4(－3，7)．类型五与角有关的探究1．(2017·锦州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.(1)求抛物线

的解析式；(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程

中用时t最少？解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)假设存在点P(m，n)，使得∠APB＝90°，如解图①，连接PA，PB.∵PH⊥AB，∴可得△PAH∽△BPH，∴PHBH＝AHPH，即PH2＝AH·BH，∴(－n)2＝(3－m)(m＋1)，整理得n

2＝－m2＋2m＋3，∵点P在抛物线上，∴n＝m2－2m－3，∴n2＝－n，解得n＝－1或n＝0(舍)．将n＝－1代入抛物线得m2－2m－3＝－1，解得m1＝1＋3，m2＝1－3，∴满足条件的点P有两个，横坐标分别为1＋3，1

－3；图①图②(3)如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，∵D(－2，5)，∴DE＝5，OE＝2.∴AE＝OE＋OA＝5，∴DE＝AE，∴∠DAE＝45°.过D作DF⊥PQ于点F，∵DF∥x轴，∴∠FDQ＝45°，∴在Rt△DFQ中，

DQ＝2FQ.根据题意，t＝BQ1＋DQ2＝BQ＋FQ，∴要使t最小，则BQ＋QF最小，根据垂线段最短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，此时BF⊥DF，点Q的横坐标为－1，则点Q的坐标为(－1，4)．2．(

2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC，CD，设直线B

D交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横

坐标；若不存在，请说明理由．(导学号58824244)备用图解：(1)抛物线的表达式为y＝－12x2－32x＋2；(2)①令y＝－12x2－32x＋2＝0，∴x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0)，如解图①，过D作

DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于点N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴S1S2＝DEBE＝DMBN，设D(a，－12a2－32a＋2)，∴M(a，12a＋2)，∴DM＝－12a2－2a，∵B(1，0)，∴N(1，5

2)，∴BN＝52.∴S1S2＝DMBN＝－12a2－2a52＝－15(a＋2)2＋45；∴当a＝－2时，S1S2的最大值是45；图①图②②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴AC＝25，BC＝5，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角

形，取AB的中点P，∴P(－32，0)，∴PA＝PC＝PB＝52，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝43，过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点G，i．如解图②，∴∠DCF＝2∠

BAC＝∠DGC＋∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝12，即RCDR＝12，令D(a，－12a2－32a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－12a2－32a，∴－12a2－32a－a＝12，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2，∴xD＝－2，ii

.∵∠FDC＝2∠BAC，tan∠FDC＝43，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝3kFG＝12，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝35k，∴RC＝255k，RG＝455k，DR＝35k－4

55k＝1155k，∴DRRC＝1155k255k＝－a－12a2－32a，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2911，点D的横坐标为－2或－2911.3．(2017·丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C

，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；(3)一动点M从点D出发

，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平

分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y＝－23x2＋83x－2＝－23(x－2)2＋23；(2)如解图，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由(1)得C(0，－2)，∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝23x－2

，∵H(1，y)在直线BC上，∴y＝－43，∴H(1，－43)，∵B(3，0)，E(0，－1)，∴直线BE解析式为y＝13x－1，∴G(1，－23)，∴GH＝23，∵直线BE：y＝13x－1与抛物线y＝－23x2

＋83x－2相交于点F，B，∴F(12，－56)，∴S△FHB＝12GH×|xG－xF|＋12GH×|xB－xG|＝12GH×|xB－xF|＝12×23×(3－12)＝56；(3)P(32，错误!)．