【文档说明】2022中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(含答案) .doc，共(11)页，215.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节矩形、菱形和正方形姓名：________班级：________用时：______分钟1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC2．下列说法，正确的有()①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A．4个B．3个C．2个D．1个3.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折

叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为()A．31°B．28°C．62°D．56°4．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是______．5．如图所示，菱

形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．6．在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.7．在正方形ABCD中，E是边CD上

一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(

2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为2.【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________．8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形

)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为()A．20B．24C.994D.5329．如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动

点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是__________．10．小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，

求证：AP＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F

.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与

直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．参考答案【基础训练】1．B2.C3.D

4.235.2456．(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B，又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝9

0°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.7．解：【感知】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠

CBE.在△ABF和△BCE中，∠BAF＝∠CBE，AB＝BC，∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BCE(ASA)．【探究】证明：(1)如图，过点G作GP⊥BC于P.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝

∠ABC＝90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG＝AB，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE，在△PGF和△CBE中，∠PGF＝∠CBE，PG＝BC，∠FPG＝∠ECB＝90°，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.(2)由(1)知，FG＝BE，如图，连结

CM.∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，∴BE＝2CM＝2，∴FG＝2.【应用】9【拔高训练】8．B9.35－310．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°，∴∠AE

C＋∠AFC＝180°.∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE

＝AF，∴∠EAP＝∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE＝AF，∠EAP＝∠FAQ，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)解：答案不唯一．已知：AB＝4，∠B＝60°，求四边形APCQ的面积．解：

如图，连结AC，BD交于O.∵∠ABC＝60°，BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∵AE⊥BC，∴BE＝EC.同理，CF＝FD，∴四边形AECF的面积＝12×四边形ABCD的面积，由(2)得四边形APCQ的面积

＝四边形AECF的面积，OA＝12AB＝2，OB＝32AB＝23，∴四边形ABCD的面积＝12×2×23×4＝83，∴四边形APCQ的面积＝43.【培优训练】11．解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6.在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝65.∵EG

∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FGAF＝EGAC，∴FGAF＝612＝12，∴FG＝13AG＝25.②如图1中，正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.图1∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵

GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan30°＝123.(2

)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15.如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥

CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4.如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点

在AE上方时，图3此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴3x9＝9x＋129x＋27，解得x＝2或－2(舍去)，∴腰长DG＝4x＋12＝20.如

图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，图4此时只有DF＝DG，连结DF，过点D作DH⊥FG.设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12，∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝(4x＋12)×45＝16x＋485，∴G

F＝2GH＝32x＋965，∴AF＝GF－AG＝7x＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴ACEG＝AFFG，∴124x＝7x＋96532x＋965，解得x＝12147或－12147(舍去)．∴腰长GD＝4x＋12＝84＋48147.如图5中，当点D在线段C

B的延长线上时，此时只有DF＝DG，作DH⊥AG于H.图5设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12，∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝16x－485，∴FG＝2FH＝32x－965，

∴AF＝AG－FG＝96－7x5.∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴ACEG＝AFFG，∴124x＝96－7x532x－965，解得x＝12147或－12147(舍去)，∴腰长DG＝4x－12＝－84＋48147.综上所述，等腰△DFG的腰长为4或20或84＋48147或－

84＋48147.