【文档说明】中考数学二轮复习专题提升卷15《巧用旋转进行证明与计算》(教师版) (NXPowerLite).doc，共(7)页，1.771 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥

AE.证明略．【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD

交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D)A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转9

0°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)A．1∶2B．1∶2C.3∶2D．1∶3【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝

BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，BP＝BP′，∠ABP＝∠CBP′，AB＝CB，∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴A

P＝3P′A.∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x，则AP＝3x，

根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.3．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时

针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.(1)线段DC＝__4__；(2)求线段DB的长度．解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；(2)如答图，作DE⊥BC于点E.∵△AC

D是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，在Rt△CDE中，DE＝12DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4×32＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3.在Rt△BDE中，BD＝DE2＋B

E2＝22＋（3）2＝7.4．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系

和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．解：(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD＝AC.证明：如答图①，延长BD交AC于

点F.∵AE⊥BC于点E，∴∠BED＝∠AEC＝90°.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△DBE≌△CAE(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE.∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACE.∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴BD

⊥AC；(2)否．证明：如答图②，AC与BD交于点F，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，中考变形4答图①即∠BED＝∠AEC.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.∵∠BFC＝∠ACD

＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，∴BD⊥AC；(3)如答图③，AC与BD交于点F.∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△B

ED和△AEC中，BE＝AE，∠BED＝∠AEC，DE＝CE，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°－(∠BDE＋∠EDC＋∠DCF)＝60°，∴BD与AC的夹角度数为60°

或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB＝__150

°__；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝22，PB＝1，PD＝17，求∠APB的度数和正方形的边长．中考变形4答图②中考变形4答图③解：(1)如答图①，把△APB绕点A逆时针旋转60

°得△AP′C，由旋转的性质，得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2

，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°；(2)如答图②，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，由旋转的性质，得P′A＝PA＝22，P′

D＝PB＝1，∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2PA＝2×22＝4，∠AP′P＝45°，∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝(17)2＝17，∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°，∴∠AP′D

＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°，∴∠APB＝∠AP′D＝135°.∵∠APB＋∠APP′＝135°＋45°＝180°，∴P′，P，B三点共线．过点A作AE⊥PP′于点E，则AE＝PE＝12PP′＝2，∴BE＝PE＋PB＝2

＋1＝3，在Rt△ABE中，AB＝AE2＋BE2＝22＋32＝13.【中考预测】中考变形5答图①中考变形5答图②(1)如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；(2)

如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG＝4，GF＝6，求正方形ABCD的边长．解

：(1)在正方形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB＝AG，AE＝AE，∴△ABE≌△AGE(HL)，∴∠BAE＝∠GAE.同理，∠GAF＝∠DAF.∴∠EAF＝∠

EAG＋∠FAG＝12∠BAD＝45°；(2)MN2＝ND2＋DH2.由旋转可知，∠BAM＝∠DAH，∵∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°.∴∠HAN＝∠MAN.在△AMN与△AHN中，AM＝AH，∠MAN＝∠HAN，AN＝A

N，∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN.∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝45°，∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°，∴NH2＝ND2＋DH2，∴MN2＝ND2＋DH2；(3)由(1)知，BE＝EG＝4，DF＝FG＝6.设正方形ABCD的边长为x，则CE＝x－4，C

F＝x－6.∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝102，解得x1＝12，x2＝－2(不合题意，舍去)．∴正方形ABCD的边长为12.