【文档说明】中考数学二轮复习专题提升卷11《以平行四边形为背景的计算与证明》(教师版) (NXPowerLite).doc，共(8)页，912.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题提升(十一)以平行四边形为背景的计算与证明类型之一以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥C

D，∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分

的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥B

D于点F，连结AF，CE.求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.∴四边形A

ECF是平行四边形．∴AF＝CE.2．如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠

ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，∵E，F分别为AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝12AD，CF＝BF＝12BC，∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，∠EA

G＝∠FCH，AE＝CF，∠AEG＝∠CFH，∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH.【中考预测】如图，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形A

ECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝

∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝12BC＝5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内

角的度数．解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°

.【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】1．如图6，已知

BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝C

A，∴△DCA≌△EAC(SSS)；(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90

°，∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)．2．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．解：(1

)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，∠OBE＝∠ODF，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴E

O＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2，解得x＝133，∵BD＝AD2＋A

B2＝213，∴OB＝12BD＝13，∵BD⊥EF，∴OE＝BE2－OB2＝2133，∴EF＝2EO＝4133.3．如图，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠A

BE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，∴∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠BDC，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，

∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，

又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．4．如图，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值

．解：(1)证明：正方形ABCD中，∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)在Rt△ABE中，∵AB＝

BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12ED·AH＝12AD·BA＝92，∴AH＝95，在Rt△AHD中，DH＝AD2－AH2＝125，∴EH＝ED－DH＝135，∴ta

n∠AED＝AHEH＝913.5．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABC

D是正方形．证明：(1)在△ADE与△CDE中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，

∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×22＋3＋3＝45°

，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．6．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断

直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG

，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．理由：如答图，连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正

方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，∴BO＝DO，即O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋

(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.【中考预测】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点

，BE交AC于点F，连结DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝

CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC

，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝

∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，∴∠EFD＝∠BCD.