【文档说明】中考数学二轮复习专题提升卷10《以等腰或直角三角形为背景的计算与证明》(教师版) (NXPowerLite).doc，共(9)页，612.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-35215.html

以下为本文档部分文字说明：

专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明【经典母题】把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．解：如答图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结ED，

则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形．【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长

的计算．【中考变形】1．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(B)A．3条B.4条C.5条D.6条【解析】如答图，当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都

能得到符合题意的等腰三角形．2．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则(C)A．m2＋2mn＋n2＝0B.m2－2mn

＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0D.m2－2mn－n2＝0【解析】如答图，根据题意，得m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2－2mn＋m2，m2＋2mn－n2＝0.3．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设经典母题答图中考变形1答图中

考变形2答图∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝__20__°，β＝__10__°.②求α，β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存

在，请说明理由．解：(1)①∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋

20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.②设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β；(2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设∠B＝

x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠E＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°.Ⅱ.当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得α＝180°－2β.【中考预测】如图，△ACB和△DCE均为等腰三

角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.(1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，①求证：AD＝BE.②求∠AEB的度数；(2)如图②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高线，BN

为△ABE中AE边上的高线，求证：AE＝23CM＋233BN.解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠AC

D＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS

)，∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；(2)证明：∵△ACB和△DC

E均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2

×CMtan∠CDM＝23CM.∵∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD

＝BE.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝BNsi

n∠BEN＝233BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝DE＋BE＝23CM＋233BN.类型之二以直角三角形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC

.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，又∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.【思

想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用．【中考变形】1．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是(B)

A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°

，由旋转的性质，得∠B＝∠A′B′C＝65°.2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件____AE＝CE(答案不唯一)__，使△AEH≌△CEB.【解析】该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出△AEH与△CEB的

两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了．∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B，∴∠B＝∠AHE.∴根据AAS添加AH＝CB或AE＝CE，根据A

SA添加EH＝EB，可证△AEH≌△CEB.故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一)．3．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD

；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，∴∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)；(2)∵

AB＝CB，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.由(1)知∠BDC＝∠BEA，∴∠BDC＝75°

.4．如图7，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上的一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．解：(1)证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，在△ACE和△BCD中，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC.∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝

∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，由勾股定理，得AD＝DE2－AE2＝5，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.5．如图，△ABC中，∠A

CB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连结BE.(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连结CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.【解析】(1)根据勾股定理先

求得AC＝BC＝4，再利用勾股定理求CE的长即可；(2)过C点作CM⊥CF交BD于点M，构造△BCM≌△ACF得FC＝MC，即△FCM为等腰直角三角形，∴∠AFC＝∠DFC＝135°，再证△DCF≌△A

CF即可．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.∵AB＝42，∴BC＝AC＝42×22＝4.在Rt△BCE中，CE＝BE2－BC2＝52－42＝3，∴AE＝AC－CE＝4－3＝

1；(2)证明：如答图，过C点作CM⊥CF交BD于点M.∵∠ACB＝∠FCM＝90°，∴∠ACF＝∠BCM，∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∠BEC＝∠AEF，∴∠FAC＝∠MBC，在△ACF和△BCM中，∠ACF＝∠BCM，AC＝BC，

∠FAC＝∠MBC，∴△ACF≌△BCM(ASA)，∴FC＝MC，∴∠MFC＝∠FMC＝45°，∴∠DFC＝180°－45°＝135°，∠AFC＝90°＋45°＝135°，∴∠DFC＝∠AFC.在△ACF和△DCF中，中考变形5答图AF＝DF，∠AFC＝∠DFC，CF＝C

F，∴△ACF≌△DCF(ASA)，∴AC＝DC.∵AC＝BC，∴DC＝BC.【中考预测】如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，连结AM.(1)求证：BE＝CF；(2)求证：BE⊥CF；(3)求∠AMC的度数．解：(1)证明：∵∠BAC＝

∠EAF＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠FAE＋∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△CAF和△BAE中，AC＝AB，∠CAF＝∠BAE，AF＝AE，∴△CAF≌△BAE(SAS)，∴BE＝CF；(2)证明：设AC与BE交点为O，如答图，∵△CAF≌△BAE，∴∠

ABE＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＋∠BOA＝90°，∵∠BOA＝∠COM，∴∠COM＋∠ACF＝90°，∴∠CMO＝180°－90°＝90°，∴BE⊥CF；(3)如答图，过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，则∠AGB＝∠AHC＝90°，在△AGB和△A

HC中，∠ABG＝∠ACH，∠AGB＝∠AHC，AB＝AC，∴△AGB≌△AHC(AAS)，∴AG＝AH，∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，∴∠AGM＝∠GMH＝∠AHM＝90°，∴四边形AHMG是正方形，∴∠GMH＝90°，∠AM

G＝12∠HMG＝45°，∴∠AMC＝90°＋45°＝135°.