【文档说明】中考数学二轮复习专题提升卷06《一次函数与反比例函数的综合》(教师版) (NXPowerLite).doc，共(11)页，454.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题提升(六)一次函数与反比例函数的综合【经典母题】如图是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自

变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝kx，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点

A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；(2

)在图中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，即y＝2x；把A(1，2)代入y＝bx，得b＝2，即y＝2x；(2)画草图如答图所示．由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．2．如图

，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x的图象交于第一象限内P12，8，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；(3)求∠P′AO的正弦值．【解析】①将P点坐标

代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出

点P′的坐标；③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．解：(1)∵点P在反比例函数的图象上，∴把点P12，8代入y＝k2x，得k2＝4，

∴反比例函数的表达式为y＝4x，∴Q点坐标为(4，1)．把P12，8，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，得8＝12k1＋b，1＝4k1＋b，解得k1＝－2，b＝9.∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；(2)P′

－12，－8；(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D.∵P′－12，－8，中考变形2答图∴OD＝12，P′D＝8.∵点A在y＝－2x＋9的图象上，∴点A坐标为92，0，即OA＝92，∴DA＝5，∴P′A＝P′D2＋DA2＝

89.∴sin∠P′AD＝P′DP′A＝889＝88989.∴sin∠P′AO＝88989.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝12x与反比例函数y＝kx的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数表达式和点B的坐

标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝12x图象上，∴－2＝12a，∴a＝－4，∴点A坐

标为(－4，－2)．又∵点A在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝xy＝－4×(－2)＝8，∴反比例函数的表达式为y＝8x.∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，∴A，B两点关于原点O中心对称，∴点B的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P坐标为

a，8a(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝12x上，∴点C的坐标为a，12a，∴PC＝12a－8a＝a2－162a，∴S△POC＝12PC·a＝12a2－162a·a＝a2－164＝3，当a2－164＝3时，解

得a＝28＝27，∴P27，477.当a2－164＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)．综上所述，符合条件的点P的坐标为27，477，(2，4)．4．如图，一次函数y＝kx＋b

与反比例函数y＝mx的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小．解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝

mx上，∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝4x；(2)把B(4，n)代入y＝4x，4＝xy＝4n，得n＝1，∴B(4，1)，∵直线y＝kx＋b经过A，B，∴4＝k＋b，1＝4k＋b，解得k＝－1，b＝5，∴一次函数的表达式为

y＝－x＋5；(3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)，设直线AB′的表达式为y＝ax＋q，∴4＝a＋q，－1＝4a＋q，解得a＝－53，q＝173，∴直线AB′的表达式为y＝－53x

＋173，令y＝0，解得x＝175，∴当点P的坐标为175，0时，PA＋PB最小．5．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交

于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的表达式．(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝mx的图象上一点P，使得S△POC＝9.解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝mx的图象上，

∴m＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y＝8x.∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6，∴点B的坐标为(0，－6)，把点A(4，2)和点B(0，－6)代入y＝kx＋b中，得4k＋b＝2，b＝－6，解得

k＝2，b＝－6.∴一次函数的表达式为y＝2x－6；(2)设点P的坐标为n，8n(n＞0)．在直线y＝2x－6上，当y＝0时，x＝3，∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3，∴S△POC＝12×3×8n＝9，解得n＝43.∴点P的坐标为43，6.6．如图

，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝kx的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE.(1)求k的值；(2)

求四边形AEDB的面积．解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1，得－2×(－1)＋1＝m，解得m＝3.∴A点的坐标为(－1，3)．将A(－1，3)代入y＝kx，得k＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)，∵D(0，－2)，则点

B的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB＝32，∴MD＝3.又∵A(－1，3)，AE∥y轴，∴E(－1，0)，AE＝3.∴AE∥MD，AE＝MD.∴四边形AEDM为平行四边形．∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB＝3×1＋12×32×3＝21

4.7．如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC，①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O

成中心对称？并说明理由．解：(1)当y＝0时，得0＝33x－3，解得x＝3.∴点A的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t，点E的坐标是(3，t)，则反比例函数y＝kx可表示为y＝3

tx.∵直线y＝33x－3交y轴于点B，∴B(0，－3)．在Rt△AOB中，tan∠OAB＝OBOA＝33，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝12t，AF＝AC·cos30°＝32t，∴点C的坐标是3＋32t，12t.∴3＋32

t×12t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝23.∴k＝3t＝63.②点E的坐标为()3，23，设点D的坐标是x，33x－3，∴x33x－3＝63，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，∴点D的坐标是()－3，－23，∴点E

与点D关于原点O成中心对称．【中考预测】如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若

OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx＋b≤nx的解集．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥DA，∴DC∥

OB，∴OBDC＝AOAD，∴6DC＝35，∴DC＝10，∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，代入一次函数y＝kx＋b，得b＝6，3k＋b＝0，解得k＝－2，b＝6，∴一次函数的表达式为y＝－2x＋

6.∵反比例函数y＝nx经过点C(－2，10)，∴n＝－20，∴反比例函数的表达式为y＝－20x；(2)由y＝－2x＋6，y＝－20x，解得x＝－2，y＝10或x＝5，y＝－4，∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx＋b≤nx的解集

为－2≤x＜0或x≥5.