【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第6章《立体几何》44 (含详解).ppt，共(57)页，840.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第六章立体几何考点测试44直线、平面垂直的判定及其性质第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．

充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A.2．已知直线l⊥α，直

线m∥β，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，则l⊥mB．若α⊥β，则l∥mC．若l⊥m，则α∥βD．若l∥m，则α⊥β解析由l∥m，l⊥α得m⊥α，又m∥β，∴m一定平行于β内的一条直线b.∴b⊥α，∴α⊥

β.3．已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α解析由直线与平面平行

的有关定理和结论可知选项B、D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面α斜交或平行的直线，故选A.4.如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正

确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，而BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC在

平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC在平面ADC内，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.5．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PA⊥ADB．平面ABC

DEF⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°解析因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故选项A正确；选项B中两个平面不垂直，故选项B错；选项C中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故选项C错；选项D中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°

，故选项D错．故选A.6．已知两个平面垂直，则下列命题中正确的是()A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内的任意一条

直线必垂直于另一个平面D．过一个平面内任意一点且垂直于两平面交线的直线必垂直于另一个平面解析考查正方体中互相垂直的两个平面A1ABB1和ABCD.对于A，一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线，如图中A1B与AB不垂直；对于B，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数

条直线，这一定是正确的，易知A1A⊥平面ABCD，故平面ABCD内的已知直线必垂直于平面A1ABB1内所有与A1A平行的直线，且BC⊥平面A1ABB1，故平面A1ABB1内的已知直线必垂直于平面ABCD内所有

与BC平行的直线；对于C，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，如图中A1B并不垂直于平面ABCD；对于D，过一个平面内任意一点且垂直于两平面交线的直线不一定垂直于另一个平面，如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD.7．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充分条件是()A．

m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析由m⊥lm∥al∥β⇒/α⊥β，如图.由m⊥lα∩β＝ml⊂α⇒/α⊥β，如图.由m∥lm⊥αl⊥β⇒/α⊥β，如图.所以选项A，B，C都不对．又选

项D能推出α⊥β，所以D正确，故选D.8．已知如下命题：①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直．其中所有正确命题的序号是________．①解析如果过一点能够作两条直线与已

知平面垂直，则根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，但根据已知这两条直线相交，命题①正确；在空间中命题②不正确；当直线与已知平面垂直时，可作无数个平面与已知平面垂直，命题③也不正确．二、高考小题9．[2015·福建高考]若l，m是两条不同的直

线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”是()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，

故选B.10．[2014·浙江高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β

⊥α，则m⊥α解析对于选项A、B、D，均能举出m∥α的反例；对于选项C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，∴m⊥α，故选C.三、模拟小题11．[2017·大连双基测试]已知互不重合的直线a、b，互不重合的平面α、β、γ，给出下列四个命题，错误的命题是()A．若a∥

α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bB．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β解析构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于D，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD⇒/A1B1∥平面A1B1C

1D1.12．[2017·广东六校联考]下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所

有直线都垂直于平面β解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．13．[2016·福建宁德二模]设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．m∥α，

n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析对于A，条件为m∥α，n∥β且α∥β，其对m、n之间的位置关系没有限制，即该位置关系

可以是平行、相交或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，知m与n一定不平行(否则有α∥β，与α⊥β矛盾)，不妨令m与n相交(若其不相交，可通过平移使其相交)，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角的平面角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为9

0°，故命题B正确；对于C，α与β可以平行，故C不正确；对于D，少了条件m与n相交，所以D不成立．故选B.14.[2017·贵州贵阳月考]如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、A

F、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析由题意可

知PA、PE、PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.15．[2016·河北名师模拟]在四棱锥P－ABC

D中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设PEED＝m，则“0<m<2”是“三棱锥C－ABE的体积不小于1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充

要条件D．既不充分也不必要条件解析过E点作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥平面ABCD.∵VC－ABE＝VE－ABC，∴三棱锥C－ABE的体积为23EH.若三棱锥C－ABE的体积不小于1，则EH≥32，又P

A＝3，∴PEED＝m≤1.故选B.16．[2017·大连质检]在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.BM⊥PC解析∵△

PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC.17．[2017·西安六校联考]已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABC

D，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①③解析由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB，平面PAD都与平面ABCD垂直．故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，故②错；∵S△PCD＝12CD·PD，S△PAB＝12AB·PA，由AB＝CD，PD>PA

，可知③正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，故④错．第2步精做大题·练能力一、高考大题1.[2016·全国卷Ⅰ]如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角

形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．解(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB

⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交P

A于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正

三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝22.在等腰直角三

角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.2．[2016·江苏高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证

：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面

A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B

1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1

DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.二、模拟大题3．[2017·山西模拟]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1的中点，AC＝2，CC1＝2.(1)求三棱锥C－BDC1的体积；(2)证明：A1C⊥BC1.解(1)过点D作

DH⊥C1B1.在直三棱柱中，CC1⊥平面A1B1C1，DH⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥DH.∵C1B1∩CC1＝C1，∴DH⊥平面BCC1，∴DH是三棱锥D－BCC1的高．∵直三棱柱的底面是正三角形，且AC＝2，D是A1B1的中点，∴DH＝32，S△BCC1＝12×2×2＝2，∴V

C－BDC1＝VD－BCC1＝13×32×2＝66.(2)证明：取C1B1的中点E，连接A1E，CE.∵直三棱柱的底面是正三角形，∴A1E⊥B1C1，∴A1E⊥平面B1C1CB.∵BC1⊂平面B1C1CB，

∴A1E⊥BC1.在Rt△C1CE中，C1C＝2，C1E＝1.在Rt△BCC1中，BC＝2，CC1＝2，∴C1CBC＝C1ECC1＝12，∴△C1CE∽△CBC1，∴∠C1BC＝∠ECC1.∵∠C1BC＋∠BC1C＝90°，∴∠ECC1＋∠BC1C＝90°，∴CE⊥BC1.∵A1E∩CE＝E，∴B

C1⊥平面A1CE.又A1C⊂平面A1CE，∴A1C⊥BC1.4．[2016·东北师大附中联考]如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平

面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．解(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD，又AD⊥AF

，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)由题意得P到平面ABF的距离d＝1，所以VP－ABF＝13S△ABFd＝13×12×2×2×1＝23，所以VP－ABCD＝13S正方形ABCDh＝

13×2×2h＝4VP－ABF＝83，所以h＝2.5.[2016·哈尔滨六中模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，AC＝6，BD＝8，E是棱PB上的动点，△AEC面积的最小值是3.(1)求证：AC⊥DE；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.(2)连接EF，∵AD＝CD且PD⊥平面ABCD，∴PA＝PC.又∵AB＝BC且PB为公共边，则△PAB≌△

PCB，∴∠PBA＝∠PBC，又BA＝BC，BE＝BE，∴△EAB≌△ECB，∴EA＝EC，又由题意知F为AC中点，则EF⊥AC.∵AC＝6，∴S△AEC＝12AC·EF＝3EF，∵△AEC面积的最小值是3，∴EF的最小值为1，∵当EF⊥PB时，EF取最小值，

∴BE＝42－12＝15，由EFPD＝BEBD，得PD＝815，又S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×6×8＝24，故VP－ABCD＝13S菱形ABCD·PD＝13×24×815＝641515.6.[2016·山西太原模拟]如图

，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝22.(1)求证：平面ABC⊥平面APC；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．解(1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.∵PA＝PC＝AC＝4，∴OP⊥AC，且PO＝4si

n60°＝23.∵BA＝BC＝22，∴BA2＋BC2＝16＝AC2，且BO⊥AC.∴BO＝12AC＝2.∵PB＝4，∴OP2＋OB2＝12＋4＝16＝PB2，∴OP⊥OB.∵AC∩OB＝O，∴OP⊥平面ABC.∵OP⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面

APC.(2)设直线PA与平面PBC所成角的大小为θ，A到平面PBC的距离为d，则sinθ＝dAP＝d4.∵PB＝PC＝4，BC＝22，∴S△PBC＝12BC·PB2－BC22＝12×22×

14＝27.由(1)知，VP－ABC＝13S△ABC·PO＝833，又VA－PBC＝VP－ABC，∴13×27·d＝833.∴d＝437，∴sinθ＝d4＝217.∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为217.